频率采样法

对理想滤波器的频率响应采样。由下式 $H(k)=H_{d}(e^{j\omega })|_{\omega ={\frac {2\pi }{N}}k},k\in [0,N-1]$ 即可设计不同k点(离散的频率点) 之值。举例，将较小的k对应的响应值设计为1，较大的k对应的响应值设计为0,可得低通滤波器响应；将较小的k对应的响应值设计为0，较大的k对应的响应值设计为1,可得高通滤波器响应。

方法介绍

给定一个理想滤波器的离散时间傅里叶变换$H_{d}(f)$，$h[n]$则为我们要设计的有限冲激响应滤波器的冲激响应，在$n\in [0,N-1]$区间设计。考虑$R(f)$是$r[n]=h[n+P]$的离散时间傅里叶变换。

此方法基本精神要求为

${\begin{aligned}R({\frac {m}{N}}f_{s})=H_{d}({\frac {m}{N}}f_{s}),&\forall m\in 0,1,2,...N-1\\\\&f_{s}:sampling\ frequency\end{aligned}}$

若以 normalized frequency $F={\frac {f}{f_{s}}}$ 对公式进行变数变换 则 $R({\frac {m}{N}})=H_{d}({\frac {m}{N}})$

步骤一

采样 normalized过后的理想滤波器的离散时间傅里叶变换$H_{d}({\frac {m}{N}}),\forall m\in 0,1,2,...N-1$

步骤二

求$H_{d}({\frac {m}{N}})$的逆离散傅里叶变换(IDFT)(inverse discrete Fourier transform) $r_{1}[n]={\frac {1}{N}}\sum _{m=0}^{N-1}H_{d}({\frac {m}{N}})exp(j{\frac {2\pi m}{N}}n)$

步骤三

考虑$N$的奇偶情形

若$N$是奇数，则

$r[n]={\begin{cases}r_{1}[n]&{\text{for}}\ n=0,1,...,k\ \ k={\frac {N-1}{2}}\\r_{1}[n+N]&{\text{for}}\ n=-k,-k+1,...,-1.\end{cases}}$

若$N$是偶数，则 $r[n]={\begin{cases}r_{1}[n]&{\text{for}}\ n=1,...,k\ \ k={\frac {N}{2}}\\r_{1}[n+N]&{\text{for}}\ n=-k,-k+1,...,-1.\end{cases}}$

步骤四

我们据此法得到的有限响应滤波器$h[n]$，即

$h[n]=r[n-k]$

相关证明

若$R(F)$是$r[n]$的离散时间傅里叶变换

$R(F)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{r[n]e^{-j2\pi Fn}}=\sum _{n=0}^{N-1}{r_{1}[n]e^{-j2\pi Fn}}$

令$F={\frac {m}{N}}$,

$R({\frac {m}{N}})=\sum _{n=0}^{N-1}{r_{1}[n]e^{-j{\frac {2\pi m}{N}}n}}$

又$r_{1}[n]$是$H_{d}({\frac {m}{N}})$的IDFT

∴$R({\frac {m}{N}})=H_{d}({\frac {m}{N}})$

证明了照上述方法设计可得到在特定频率上都会与理想滤波器响应吻合的有限响应近似滤波器

优点

• 简单且直观

缺点

• 所得到的有限响应滤波器并非最优化的，有限响应造成的涟波 大小介于用MSE和MINIMAX方法设计的滤波器之间

• 难以跟权重函数结合

应用实例

考虑理想的离散希尔伯特变换滤波器，我们打算据此设计15点有限响应滤波器

希尔伯特变换的频率响应虚部

步骤一

先对此理想滤波器进行15个点的采样

对此理想滤波器进行采样

步骤二

$r_{1}[n]=ifft([0,-0.9,-1,-1,-1,-1,-1,-0.7,0.7,1,1,1,1,1,0.9])$

ifft为(逆离散傅里叶变换)

步骤三

${\begin{aligned}r[n]=&[-0.0315,0.0182,-0.0693,0.0132,-0.1690,0.0078,-0.6206,0.0000,0.6206,\\&-0.0078,0.1690,-0.0132,0.0693,-0.0182,0.0315]\\\end{aligned}}$

步骤四

${\begin{aligned}h[n]=r[n-8]&=[-0.0315,0.0182,-0.0693,0.0132,-0.1690,0.0078,-0.6206,0.0000,\\&\ \ 0.6206,-0.0078,0.1690,-0.0132,0.0693,-0.0182,0.0315]\end{aligned}}$

步骤2~3的冲激响应

最后设计出的滤波器频率响应

红线为频率响应

参考文献

• Jian-Jiun Ding (2024), Advanced Digital Signal Processing