数学中,余代数是带单位元的结合代数的对偶结构,后者的公理由一系列交换图给出,将这些图中的箭头反转,便得到余代数的公理。

余代数的概念可用于李群群概形等领域中。

定义

形式上来说,域   上的余代数是一个  -向量空间   -线性映射  (余乘法)与  (余单位元),使得:

  1.  
  2.  .

等价的说法是:以下图表交换:

 

在第一个图表中,我们等同了   ;同理,在第二个图表中,我们等同了    

第一个图表是代数乘法结合律的对偶版本,称为余乘法之余结合律。第二个图表是代数单位元的对偶版本。

Sweedler 记法

处理余代数时,以下记法可以大大地简化式子,称为 Sweedler 记法。这套记法在数学界中颇为流行。给定余代数   中的一个元素  ,存在一族元素  ,使得

 

在 Sweedler 记法中,上式写作

 

举例明之,余单位元   之公理可表成

 

余乘法   则可表成

 

在 Sweedler 记法中,这些式子都被写作

 

一些作者会省略求和符号,此时 Sweedler 记法表成

 

 

相关文献

  • Eiichi Abe, Hopf Algebras (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0