高斯-卢卡斯定理

高斯-卢卡斯定理，又称卢卡斯定理，该定理描述了复系数多项式的一个性质：多项式导数的根一定在原多项式的根所构成的凸包内。

这一结论曾在1836年被高斯直接使用，1874年由菲利克斯·卢卡斯（英语：Félix Lucas）证明^[1]。

动机

二次多项式 $P(x)=ax^{2}+bx+c$ 的导数 $P'$ 的根为原多项式 $P$ 的两个根的平均数。

同样地，如果一个 $n$ 次多项式有 $n$ 个两两不同的实值零点 $x_{1}<x_{2}<...<x_{n}$ ，根据罗尔定理，其导数的每个零点都位于区间 $[x_{1},x_{n}]$ 之中。

高斯-卢卡斯定理可以看成这一性质在复系数多项式上的推广。

设 $P$ 是一个非常数的复系数多项式，那么 $P'$ 的所有根都属于由 $P$ 的根构成的凸包。

将多项式函数P写成复数下的不可约形式： $P(z)=c\prod _{i=1}^{r}(z-a_{i})^{n_{i}}$ ，其中复数 $c$ 是多项式的主系数、 $a_{i}$ 是多项式的根、 $n_{i}$ 为各个根的重数。

首先注意到：

{\frac {P^{\prime }(z)}{P(z)}}=\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}}{z-a_{i}}}

假设复数 $z$ 满足：

P^{\prime }(z)=0\quad {\hbox{且}}\quad P(z)\neq 0,

因此：

\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}}{z-a_{i}}}=0\quad

乘以共轭取模

\quad \ \sum _{i=1}^{r}n_{i}{\frac {{\overline {z}}-{\overline {a_{i}}}}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}=0,

写成如下形式：

\left(\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}\right){\overline {z}}=\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}{\overline {a_{i}}}.

此时，可以将 $z$ 看成是 $n$ 个位于 $a_{i}$ 的质点的重心，因此在其构成的凸包内。

另一种 $P(z)=0$ 情况下的证明是显然的。