高级Z变换

高级Z转换（英语：Advanced z-transform，或 modified z-transform）是Z转换的延伸，是数学及信号处理领域中的工具，它将不是取样周期整数倍的延迟考虑进去。具有以下形式

$F(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT+m)z^{-k}$

其中

• T为取样周期

• m为延迟参数（delay parameter），$0\leq m<T$

性质

如果延迟参数m固定，则Z转换具有的性质在高级Z转换也都成立。

线性

${\mathcal {Z}}\left\{\sum _{k=1}^{n}c_{k}f_{k}(t)\right\}=\sum _{k=1}^{n}c_{k}F_{k}(z,m)$

时移

${\mathcal {Z}}\left\{u(t-nT)f(t-nT)\right\}=z^{-n}F(z,m)$

Z域的尺度性质

${\mathcal {Z}}\left\{f(t)e^{-a\,t}\right\}=e^{-a\,m}F(e^{a\,T}z,m)$

微分

${\mathcal {Z}}\left\{t^{y}f(t)\right\}=\left(-Tz{\frac {d}{dz}}+m\right)^{y}F(z,m)$

终值定理

$\lim _{k\to \infty }f(kT+m)=\lim _{z\to 1}(1-z^{-1})F(z,m)$

范例

以下计算 $f(t)=\cos(\omega t)$的高级Z转换：

${\begin{aligned}F(z,m)&={\mathcal {Z}}\left\{\cos \left(\omega \left(kT+m\right)\right)\right\}\\&={\mathcal {Z}}\left\{\cos(\omega kT)\cos(\omega m)-\sin(\omega kT)\sin(\omega m)\right\}\\&=\cos(\omega m){\mathcal {Z}}\left\{\cos(\omega kT)\right\}-\sin(\omega m){\mathcal {Z}}\left\{\sin(\omega kT)\right\}\\&=\cos(\omega m){\frac {z\left(z-\cos(\omega T)\right)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}-\sin(\omega m){\frac {z\sin(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}\\&={\frac {z^{2}\cos(\omega m)-z\cos(\omega (T-m))}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}\end{aligned}}$

若 $m=0$，则$F(z,m)$简化为

$F(z,0)={\frac {z^{2}-z\cos(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}$

正是$f(t)=\cos(\omega t)$的Z转换

参考文献

• Eliahu Ibrahim Jury, Theory and Application of the z-Transform Method, Krieger Pub Co, 1973. ISBN 0-88275-122-0.