三十二元数

在数学中，三十二元数（英语：Trigintaduonion）是指32个维度的代数系统。较常见的定义是透过将十六元数套用凯莱-迪克森构造生成的32维代数系统。这种代数系统不是可除代数，且不具备交换律和结合律。

三十二元数
符号	$\mathbb {T}$
种类	非结合代数
单位	$e_{0}$、 $e_{1}$、......、 $e_{30}$ 及$e_{31}$
乘法单位元	$e_{0}$
主要性质	幂结合性 含零因子
数字系统
$\mathbb {N}$ 自然数 $\mathbb {Z}$ 整数 $\mathbb {Q}$ 有理数 $\mathbb {R}$ 实数 $\mathbb {C}$ 复数 $\mathbb {H}$ 四元数 $\mathbb {O}$ 八元数 $\mathbb {S}$ 十六元数 $\mathbb {T}$ 三十二元数

性质

以凯莱-迪克森构造生成的三十二元数本身包含了十六元数、八元数、四元数、复数和实数，也就是说实数包含于复数、复数包含于四元数、四元数包含于八元数、八元数包含于十六元数、十六元数包含于三十二元数。

$\mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O} \subset \mathbb {S} \subset \mathbb {T} \subset \cdots$

其中$\mathbb {T}$为三十二元数。后面仍能持续推广为六十四元数、一百二十八元数等。

乘法表

高维超复数的乘法表可以透过低维超复数的乘法表推广以产生，因此三十二元数的乘法表有一部份与十六元数、八元数的乘法表相同，其馀部分能透过推广的方式计算得出，甚至六十四元数、一百二十八元数的乘法表也皆是已知的。这些乘法表中的元素通常是单位，可称为基元，基元的数量则决定了超复数的维度

三十二元数的乘法表十分庞大，可以参见文献中的附表。具体执行三十二元数乘法的过程需要1024次实数乘法和992次实数加法。

高维代数结构

三十二元数之上还有六十四元数、一百二十八元数等，其维数皆是二的次方。

六十四元数

六十四元数共有1个实元素和63个虚元素单位。其乘法表的结构可以以这63个虚元素单位作为点，形成651个三元组。如同八元数的法诺平面7个虚元素单位构成7条线，六十四元数的651个三元组都可以看做一条线，每条线通过3个顶点，每个点连接31条线，并同构于PG(5,2)。

参见

• 凯莱-迪克森结构
• 十六元数
• 超复数