三十二元数

在数学中,三十二元数(英语:Trigintaduonion)是指32个维度的代数系统[2]。较常见的定义是透过将十六元数套用凯莱-迪克森构造生成的32维代数系统[3]。这种代数系统不是可除代数,且不具备交换律和结合律。[1]

三十二元数
符号[1]
种类非结合代数
单位、......、
乘法单位元
主要性质幂结合性
零因子
数字系统

性质

凯莱-迪克森构造生成的三十二元数本身包含了十六元数、八元数、四元数、复数和实数,也就是说实数包含于复数、复数包含于四元数、四元数包含于八元数、八元数包含于十六元数、十六元数包含于三十二元数。

 

其中 为三十二元数。后面仍能持续推广为六十四元数、一百二十八元数等。[1]

乘法表

高维超复数的乘法表可以透过低维超复数的乘法表推广以产生,因此三十二元数的乘法表有一部份与十六元数、八元数的乘法表相同,其馀部分能透过推广的方式计算得出,甚至六十四元数、一百二十八元数的乘法表也皆是已知的。[4]这些乘法表中的元素通常是单位,可称为基元,基元的数量则决定了超复数的维度[5]:89

三十二元数的乘法表十分庞大,可以参见文献中的附表[4][1]。具体执行三十二元数乘法的过程需要1024次实数乘法和992次实数加法。[6]

高维代数结构

三十二元数之上还有六十四元数、一百二十八元数等,其维数皆是二的次方。[4]

六十四元数

六十四元数共有1个实元素和63个虚元素单位。其乘法表的结构可以以这63个虚元素单位作为点,形成651个三元组。[7]如同八元数法诺平面英语Fano plane7个虚元素单位构成7条线,六十四元数的651个三元组都可以看做一条线,每条线通过3个顶点,每个点连接31条线,并同构于PG(5,2)。[8]:20

参见

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Raoul E. Cawagas, et al. (2009)., "THE BASIC SUBALGEBRA STRUCTURE OF THE CAYLEY-DICKSON ALGEBRA OF DIMENSION 32 (TRIGINTADUONIONS)", [2022-04-25], (原始内容存档于2022-04-24) 
  2. ^ Weng, Zihua. Compounding Fields and Their Quantum Equations in the Trigintaduonion Space. arXiv. 2007 [2022-05-28]. doi:10.48550/ARXIV.0704.0136. (原始内容存档于2022-01-31). 
  3. ^ Kübra Gül. On k-Fibonacci and k-Lucas Trigintaduonions (PDF). International Journal of Contemporary Mathematical Sciences. 2018, 13 (1) [2022-05-28]. doi:10.12988/ijcms.2018.71134. (原始内容存档 (PDF)于2022-06-16). 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 穆大禄. 三十二元數乘法表. 信阳师范学院学报(自然科学版). 2017年4月, 第30卷 (第2期) [2022-04-26]. doi:10.3969/j.issn.1003-0972.2017.02.001. (原始内容存档于2022-04-27) (中文(简体)).  論文全文 (PDF). [2022-04-27]. (原始内容 (PDF)存档于2022-04-27). 
  5. ^ Liu Shaoxue. Modern algebra foundation. Beijing: Higher Education Press. 2000. 
  6. ^ Aleksandr Cariow & Galina Cariowa. An algorithm for multipication of trigintaduonions. Journal of Theoretical and Applied Computer Science. 2014, 8 (1) [2022-05-28]. (原始内容存档于2022-05-28). 
  7. ^ Saniga, Metod and Holweck, Frédéric and Pracna, Petr. From Cayley-Dickson algebras to combinatorial Grassmannians (PDF). Mathematics (Multidisciplinary Digital Publishing Institute). 2015, 3 (4): 1192–1221 [2022-05-28]. doi:10.3390/math3041192. (原始内容存档 (PDF)于2022-06-16). 
  8. ^ Saniga, Metod and Holweck, Frédéric and Pracna, Petr. Cayley-Dickson algebras and finite geometry (PDF). arXiv preprint arXiv:1405.6888. 2014 [2022-04-28]. doi:10.48550/arXiv.1405.6888. (原始内容 (PDF)存档于2022-04-28).