三阶七边形镶嵌蜂巢体
在几何学中，三阶七边形镶嵌蜂巢体又称三阶七边形镶嵌堆砌，是一种由正七边形镶嵌完全填满非紧双曲空间的几何结构[1][2][3]。
| 三阶七边形镶嵌蜂巢体 | |
|---|---|
 | |
| 类型 | 双曲正堆砌 |
| 家族 | 堆砌 |
| 维度 | 三维双曲空间 |
| 对偶多胞形 | 七阶四面体堆砌 |
| 数学表示法 | |
| 考克斯特符号 |     |
| 施莱夫利符号 | {7,3,3} |
| 性质 | |
| 胞 | 七边形镶嵌 {3,7}  |
| 面 | 正七边形 {7}  |
| 组成与布局 | |
| 顶点图 | 正四面体 {3,3}  |
| 对称性 | |
| 对称群 | [7,3,3] |
| 特性 | |
| 正、非紧 | |
性质
三阶七边形镶嵌蜂巢体由正七边形镶嵌的胞组成，每条棱都是三个正七边形镶嵌的公共棱，整个图形完全由正七边形组成。在这个图形中，每个正七边形镶嵌胞的顶点都位于双曲超球形（双曲三维超圆形）上。
三阶七边形镶嵌蜂巢体在施莱夫利符号计为{7,3,3}，其中{7,3}正七边形镶嵌，加一个3表示每条棱周围都有三个正七边形镶嵌。三阶七边形镶嵌蜂巢体的每个顶点都是4个七边形镶嵌的公共顶点，顶点图为正四面体，在施莱夫利符号计为{3,3}。
结构
由于正七边形镶嵌并不是一种多面体，是一种双曲空间的双曲平面镶嵌，因此要让其每个顶点都是三个正七边形镶嵌的公共顶点就得将其“折弯”，并折向非紧凑空间，如同三阶伪多边形镶嵌的伪多边形。
| {7,3,3} | {12i,3} |
|---|---|
|
|
| 三阶七边形镶嵌蜂巢体，每个“气泡”都是一个正七边形镶嵌，而其并无封闭于无穷远处（庞加莱球体边界）。 | 三阶伪多边形镶嵌中的伪多边形，其两端并无在无穷远处（庞加莱圆盘边界）会合。 |
相关多胞体与堆砌
三阶七边形镶嵌蜂巢体是一种每个顶点都是三个正多边形镶嵌之公共顶点的图形，其他具有同样性质的蜂巢体有[4]：
| {p,3,3}多胞形 | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 空间 | S3 | H3 | |||||||||
| 形式 | 有限 | 仿紧 | 非紧 | ||||||||
| 名称 | {3,3,3} | {4,3,3} | {5,3,3} | {6,3,3} | {7,3,3} | {8,3,3} | ... {∞,3,3} | ||||
| 图像 | 
|
|
|
|
|
||||||
| 胞 {p,3} |
 {3,3} |
 {4,3} |
 {5,3} |
 {6,3} |
{7,3} |
 {8,3} |
 {∞,3} | ||||
三阶七边形镶嵌蜂巢体是一种由七边形镶嵌构成的蜂巢体，其他由七边形镶嵌构成的蜂巢体包括：
| {7,3,p} 非紧蜂巢体 | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 空间 | H3 | ||||||||||
| 名称 | 三阶 七边形镶嵌 蜂巢体 |
四阶 七边形镶嵌 蜂巢体 |
五阶 七边形镶嵌 蜂巢体 |
六阶 七边形镶嵌 蜂巢体 |
七阶 七边形镶嵌 蜂巢体 |
八阶 七边形镶嵌 蜂巢体 |
无限阶 七边形镶嵌 蜂巢体 | ||||
| 施莱夫利 符号 |
{7,3,3} | {7,3,4} | {7,3,5} | {7,3,6} | {7,3,7} | {7,3,8} | ... {7,3,∞} | ||||
考克斯特       
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|
 
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|
 
|
|
 
|
 
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| 图像 |
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|||||||
| 顶点图 {3,p} 
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{3,3}
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 {3,4}
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 {3,5}
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 {3,6}
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 {3,7}
|
 {3,8}
|
 {3,∞}
| ||||
参考文献
- Jeffrey R. Weeks The Shape of Space, 2nd edition ISBN 0-8247-0709-5 (Chapters 16–17: Geometries on Three-manifolds I,II)
- ^ John Baez, Visual insights: {7,3,3} Honeycomb （页面存档备份，存于互联网档案馆） (2014/08/01)
- ^ {7,3,3} Honeycomb Meets Plane at Infinity （页面存档备份，存于互联网档案馆） (2014/08/14)
- ^ The Beauty of Geometry: Twelve Essays (1999), Dover Publications, , ISBN 0-486-40919-8 (Chapter 10, Regular Honeycombs in Hyperbolic Space （页面存档备份，存于互联网档案馆）) Table III
- ^ Coxeter, Regular Polytopes, 3rd. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (Tables I and II: Regular polytopes and honeycombs, pp. 294–296)
外部链接
- Danny Calegari, Kleinian, a tool for visualizing Kleinian groups, Geometry and the Imagination 4 March 2014. [1]