中线或重线是三角形中从某边的中点连向对角的顶点的线段。三角形的三条中线总是相交于同一点,这个点称为三角形的重心。
任意三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分。中线都把三角形分成面积相等的两个部分。除此之外,任何其他通过中点的直线都不把三角形分成面积相等的两个部分。
考虑三角形ABC。设D为 A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} 的中点,E为 B C ¯ {\displaystyle {\overline {BC}}} 的中点,F为 A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} 的中点,O为重心。
根据定义, A D = D B , A F = F C , B E = E C {\displaystyle AD=DB,AF=FC,BE=EC} ,因此 [ A D O ] = [ B D O ] , [ A F O ] = [ C F O ] , [ B E O ] = [ C E O ] , [ A B E ] = [ A C E ] {\displaystyle [ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[CEO],[ABE]=[ACE]} ,其中 [ A B C ] {\displaystyle [ABC]} 表示三角形ABC的面积。
我们有:
因此, [ A B O ] = [ A C O ] {\displaystyle [ABO]=[ACO]} 且 [ A D O ] = [ D B O ] , [ A D O ] = 1 2 [ A B O ] {\displaystyle [ADO]=[DBO],[ADO]={\frac {1}{2}}[ABO]} 。
由于 [ A F O ] = [ F C O ] , [ A F O ] = 1 2 [ A C O ] = 1 2 [ A B O ] = [ A D O ] {\displaystyle [AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]} ,所以 [ A F O ] = [ F C O ] = [ D B O ] = [ A D O ] {\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]} 。 同理,也可以证明 [ A F O ] = [ F C O ] = [ D B O ] = [ A D O ] = [ B E O ] = [ C E O ] {\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]} 。
在 △ {\displaystyle \triangle } ABC中,连接角A的中线记为 m a {\displaystyle m_{a}} ,连接角B的中线记为 m b {\displaystyle m_{b}} ,连接角C的中线记为 m c {\displaystyle m_{c}} ,它们长度的公式为:
同理,可证得其他二式