五复合立方体
在几何学中，五复合立方体，是一种由五个立方体组合成的复合多面体，其索引编号为UC9，是唯一五种正复合体之一[3]，亦是一种星形多面体。埃德蒙·赫斯在1876年首先描述了该几何结构。
 五复合立方体，每个立方体以不同颜色表示 | ||||||||||||
| 类别 | 复合正多面体 星形菱形三十面体 | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 对偶多面体 | 五复合正八面体 | |||||||||||
| 识别 | ||||||||||||
| 名称 | 五复合立方体 | |||||||||||
| 参考索引 | UC5 | |||||||||||
| 数学表示法 | ||||||||||||
| 考克斯特符号 | 2{5,3}[5{4,3}][2] | |||||||||||
| 性质 | ||||||||||||
| 体 | 5 | |||||||||||
| 面 | 30 | |||||||||||
| 边 | 60 | |||||||||||
| 顶点 | 20 | |||||||||||
| 欧拉特征数 | F=30, E=60, V=20 （χ=-10） | |||||||||||
| 组成与布局 | ||||||||||||
| 复合几何体数量 | 5 | |||||||||||
| 复合几何体种类 | 5个立方体 | |||||||||||
| 面的种类 | 30个正方形 | |||||||||||
| 对称性 | ||||||||||||
| 对称群 | 二十面体群 (Ih) | |||||||||||
| 图像 | ||||||||||||
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构造
拥有二十面体对称五复合立方体可以由以原点为中心、面向轴的第一个立方体开始构造，其馀的立方体则透过轴 旋转 弧度来构造，毕依这加入顺序决定角度值中的n，例如第二个立方体n=1、第三个立方体n=2以此类推。
性质
五复合立方体为五个立方体组合成的形状，因此其边、面和顶点的数量基本上应该会是立方体的5倍，但因为部分顶点是重合的，因此其仅有30个面、60条边和20个顶点。
五复合立方体中可以找到菱形三十面体中的30个菱形[4][5]。
结构
五复合立方体可以视为正十二面体刻面后的多面体，在正十二面体凸包中每个立方体定位在12个顶点中的其中8个顶点。
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顶点座标
由于五复合立方体可以看作是在正十二面体中嵌入立方体，因此其顶点座标与正十二面体相同：
- (±1, ±1, ±1)
- (0, ±1/ϕ, ±ϕ)
- (±1/ϕ, ±ϕ, 0)
- (±ϕ, 0, ±1/ϕ)
其中ϕ = 1 + √5/2为黄金比例。
作为星形多面体
五复合立方体可以看作是一种菱形三十面体的星形多面体，即星形菱形三十面体[6][7]。
| 星状图 | 星形 | 星状核 | 凸包 |
|---|---|---|---|
|
|
 菱形三十面体 |
 正十二面体 |
棱排布
五复合立方体的凸包是正十二面体。其与一些凸包也是正十二面体的多面体有著相同的棱排布，例如小双三斜三十二面体、大双三斜三十二面体和双三斜十二面体。
| a{5,3} | a{5/2,3} | b{5,5/2} |
|---|---|---|
    =   
|
 = 
|
|
 小双三斜三十二面体 |
 大双三斜三十二面体 |
 双三斜十二面体 |
| 正十二面体 (凸包) |
五复合立方体 |
 球面的五复合立方体 |
其他的五个立方体复合图形
亦有其他也由五个立方体组合成的形状，例如佛达里也斯的五复合立方体。这种形状是一个八面体对称的星形多面体。
参考文献
- Cromwell, Peter R., Polyhedra, Cambridge, 1997. p 360
- Harman, Michael G., Polyhedral Compounds, unpublished manuscript, c. 1974 [2016-09-01], （原始内容存档于2013-07-31）.
- Skilling, John, Uniform Compounds of Uniform Polyhedra, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1976, 79: 447–457, MR 0397554, doi:10.1017/S0305004100052440.
- Cundy, H. and Rollett, A. "Five Cubes in a Dodecahedron." §3.10.6 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 135–136, 1989.
- ^ 1.0 1.1 H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
- ^ Regular Polytopes (1973)[1] pp.49-50, p.98
- ^ Regular Polytopes (1973)[1], 3.6 The five regular compounds, pp.47-50
- ^ Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999. ISBN 978-0486409146 p. 199
- ^ Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, pp. 135 and 137, 1987. ISBN 978-0486253572
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Compound of Five Cubes. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- ^ Kabai, S. Mathematical Graphics I: Lessons in Computer Graphics Using Mathematica. Püspökladány, Hungary: Uniconstant, pp. 161 and 185, 2002.