伯努利数
n | B± n |
---|---|
0 | 1 |
1 | ±1/2 |
2 | 1/6 |
3 | 0 |
4 | −1/30 |
5 | 0 |
6 | 1/42 |
7 | 0 |
8 | −1/30 |
9 | 0 |
10 | 5/66 |
11 | 0 |
12 | −691/2730 |
13 | 0 |
14 | 7/6 |
15 | 0 |
16 | −3617/510 |
17 | 0 |
18 | 43867/798 |
19 | 0 |
20 | −174611/330 |
数学上,白努利数 Bn 是一个与数论有密切关联的有理数序列。前几项被发现的白努利数分别为:
- B0 = 1, B±
1 = ± 1/2, B2 = 1/6, B3 = 0, B4 = − 1/30, B5 = 0, B6 = 1/42, B7 = 0, B8 = − 1/30.
上标 ± 在本文中用来区别两种不同的白努利数定义,而这两种定义只有在n = 1 时有所不同:
- B−
n 表示第一白努利数 (A027641 / A027642),由美国国家标准技术研究所 (NIST)制定,在这标准下 B−
1 = − 1/2. - B+
n 表示第二白努利数 (A164555 / A027642),又被称为是“原始的白努利数”[1] ,在这标准下 B+
1 = + 1/2.
由于对于所有大于1的奇数 n白努利数 Bn = 0 ,且许多公式中仅使用偶数项的白努利数,一些作者可能会用"Bn"来代表 B2n,不过在本文中不会使用如此的简写。
等幂求和
伯努利数Bn是等幂求和的解析解中最为明显的特征,定义等幂和如下,其中m, n ≥ 0:
这数列和的公式必定是变数为n,次数为m +1次的多项式,称为伯努利多项式。伯努利多项式的系数与伯努利数有密切关系如下:
其中(m + 1
k) 为二项式系数。
举例说,把m取为1,我们有
伯努利数可以由下列递归公式计算:
- ,
初值条件为B0 = 1,B1 = 1/2。 或者: ,
初值条件为B0 = 1,B1 = -1/2。
伯努利数也可以用母函数技巧定义。它们的指数母函数是x/(ex − 1),使得对所有绝对值小于2π的x(幂级数的收敛半径),有
- 。
有时会写成小写bn,以便与贝尔数分别开。
最初21项伯努利数记于OEIS中的数列A027641和A027642。
可以证明对所有不是1的奇数n有Bn = 0。
数列中乍看起来突兀的B12 = −691/2730,喻示伯努利数不能以初等方式描述;其实它们是黎曼ζ函数于负整数的值,有深邃的数论性质联系,所以不能预期有简单的计算公式。
一些等式
欧拉以黎曼ζ函数表达伯努利数为:
- 。
伯努利数的算术性质
伯努利数可以用黎曼ζ函数表达为Bn = − nζ(1 − n),也就说明它们本质上是这函数在负整数的值。因此,可推测它们有深刻的算术性质,事实也的确如此,这是库默尔(Kummer)研究费马大定理时发现的。
伯努利数的可整除性是与分圆域的理想类群有关。这关系由库默尔的一道定理和更强的埃尔贝朗-里贝定理(Herbrand-Ribet)描述。而这性质与实二次域的关系由安克尼-阿廷-乔拉猜想(Ankeny-Artin-Chowla)给出。伯努利数还和代数K理论有关:若cn是Bn/2n的分子,那样 的阶是−c2n若n为偶数;2c2n若n为奇数。
与整除性也有关连的是冯·施陶特-克劳森定理(von Staudt-Clausen)。这定理是说,凡是适合p − 1整除n的质数p,把1/p加到Bn上,我们会得到一个整数。这个事实给出了非零伯努利数Bn的分母的特征:这些分母是适合p − 1整除n的所有质数p的乘积;故此它们都无平方因子,也都可以被6整除。
吾乡-朱加猜想猜测p是质数当且仅当pBp−1模p同馀于−1。
p进连续性
伯努利数的一个特别重要的同馀性质,可以表述为p进连续性。若b,m和n是正整数,使得m和n不能被p − 1整除,及 ,那么
- 。
因为 ,这也可以写成
- ,
其中u = 1 − m和v = 1 − n,使得u和v非正,及不是模p − 1同馀于1。这告诉我们,黎曼ζ函数的欧拉乘积公式中去掉 后,对适合模p − 1同馀于某个 的负奇数上的p进数连续,因此可以延伸到所有p进整数 ,得出p进ζ函数。
伯努利数的几何性质
在 时给出可平行流形边界的怪(4n−1)球,对于它们的微分同胚类的循环群的阶,有凯尔韦尔-米尔诺公式(Kervaire-Milnor),用到了伯努利数。若B是B4n/n的分子,那么这种怪球的数目是 。(拓扑学文章中的公式与这里不同,因为拓扑学家为伯努利数编号的习惯不同。本文跟随数论家的编号习惯。)