勾股数,又名商高数或毕氏数(Pythagorean triple),是由三个正整数组成的数组;能符合勾股定理(毕式定理)“”之中,的正整数解。而且,基于勾股定理的逆定理,任何边长是勾股数组的三角形都是直角三角形。
如果是勾股数,它们的正整数倍数,也是勾股数,即也是勾股数。若果三者互质(它们的最大公因数是 1),它们就称为素勾股数或本原勾股数组。
找出素勾股数
例子
以下是小于 100 的素勾股数:
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3 |
4 |
5
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5 |
12 |
13
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7 |
24 |
25
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8 |
15 |
17
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9 |
40 |
41
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11 |
60 |
61
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12 |
35 |
37
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13 |
84 |
85
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16 |
63 |
65
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20 |
21 |
29
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28 |
45 |
53
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33 |
56 |
65
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36 |
77 |
85
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39 |
80 |
89
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48 |
55 |
73
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65 |
72 |
97
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有些勾股数组可以有同一个最小的勾股数。第一个例子是 20 ,它在以下两组勾股数之中出现: 与 。
其中最先例子是5,它在以下两组勾股数之中出现 及 。
在 15,386 组素勾股数的 1229779565176982820 ,它的最小与最大的勾股数组是:
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与
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试考虑它的质因数分解
-
它质因数的个数涉及不少素勾股数。当然,数学上存在比它大的素勾股数。
性质
对于本原勾股数组 , ,我们有
- 两两互质
- 其中一个是3的倍数
- 其中一个是4的倍数
- 其中一个是5的倍数
对于第二、三、四条性质的证明:
利用完全平方数 若 都不是3的倍数,则 ,导致 矛盾,所以 一定有且只有一个数是3的倍数。
因为 是本原勾股数组,所以必有 一奇一偶。不妨设 为奇数, 为偶数,这时候对 两边同时 ,则会得到 ,故 ,所以 一定有且只有一个数是4的倍数。
利用完全平方数 若 都不是5的倍数,则 或 或 ,而 或 ,矛盾,所以 一定有且只有一个数是5的倍数。
证毕。
找寻勾股数的小技巧
若需要一组最小数为奇数的勾股数,可任意选取一个 3 或以上的奇数,将该数自乘为平方数,除以 2,答案加减 0.5 可得到两个新的数字,这两个数字连同一开始选取的奇数,三者必定形成一组勾股数[1]。但却不一定是以这个选取数字为起首勾股数的最小可能或唯一可能,例如 并非是以 27 为起首的唯一勾股数,因为存在另一个勾股数是 ,同样也以 27 为首。
对于任何大于1的整数 , 、 与 ,三个数必为毕氏数[1],例如:代入 为2,则 为5, 为3, 为4, 为一组毕氏数。
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参见
外部链接