卡塔兰常数

卡塔兰常数 G，是一个偶尔出现在组合数学中的常数，定义为：

卡塔兰常数

识别
符号	$G$
位数数列编号	A006752
性质
定义	$G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}$
表示方式
值	0.915965594
二进制	0.111010100111110010111000…
八进制	0.724762704764023272042441…
十进制	0.915965594177219015054603…
十六进制	0.EA7CB89F409AE845215822E3…

$G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots$

其中β是狄利克雷β函数。它的值大约为：

G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …

目前还不知道G是有理数还是无理数。

积分恒等式

一些恒等式包括：

$G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln(t)}{1+t^{2}}}{\rm {d}}t$

$G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}{\rm {d}}x{\rm {d}}y$

$G=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {t}{\sin t\cos t}}{\rm {d}}t$

还有

$G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (k)\,{\rm {d}}x$

其中$K(x)\,$是第一类完全椭圆积分，

$G=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan x}{x}}{\rm {d}}x$

应用

G出现在组合数学中，也出现在第二多伽玛函数（也称为三伽玛函数）的值中。

$\psi _{1}\left({\frac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G$

$\psi _{1}\left({\frac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G$

Simon Plouffe给出了无穷多个含有三伽玛函数、$\pi ^{2}$和卡塔兰常数的恒等式。

快速收敛级数

以下两个级数收敛得很快，可以用于计算卡塔兰常数的值：

$G=\,$	$3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)-$
	$2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)$

以及

$G={\frac {\pi }{8}}\log({\sqrt {3}}+2)+{\tfrac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}.$

已知的位数

已知的位数

日期	位数	计算者
2009年4月16日	31,026,000,000	Alexander J. Yee & Raymond Chan
2009年1月31日	15,510,000,000	Alexander J. Yee & Raymond Chan
2008年8月	10,000,000,000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
2006年10月	5,000,000,000	Shigeru Kondo
2002年	201,000,000	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2001年	100,000,500	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
1998年1月4日	12,500,000	Xavier Gourdon
1997年	3,379,957	Patrick Demichel
1996年	1,500,000	Thomas Papanikolaou
1996年9月29日	300,000	Thomas Papanikolaou
1996年8月14日	100,000	Greg J. Fee & Simon Plouffe
1996年	50,000	Greg J. Fee
1990年	20,000	Greg J. Fee
1913年	32	James W. L. Glaisher
1877年	20	James W. L. Glaisher

参考文献

• Victor Adamchik, 卡塔兰常数的33种表示法（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Simon Plouffe, 一些与卡塔兰常数有关的恒等式（页面存档备份，存于互联网档案馆）, (1993) （有超过一百个不同的恒等式）
• 埃里克·韦斯坦因. Catalan's Constant. MathWorld.