控制理论中,可控制性格拉姆矩阵(Controllability Gramian)是用来判断线性动态系统是否可控制的格拉姆矩阵。
若针对以下的线性时变系统
可控制性格拉姆矩阵为
,
其中为状态转换矩阵
系统在具有可控制性,若且唯若为非奇异矩阵。
连续时间,线性非时变系统
若在连续时间的线性非时变系统中,也可以定义可控制性格拉姆矩阵(不过也有其他判断可观测性的方法)。
若考虑以下的系统
其可控制性格拉姆矩阵是以下 的方阵
若稳定(所有的特征值实部均为负),可控制性格拉姆矩阵也是以下李亚普诺夫方程的唯一解
若稳定(所有的特征值实部均为负),而且 也是正定矩阵,则此系统具有可控制性,也就是 矩阵对具有可控制性。
此一定义也和以下其他可控制性的定义等效:
1. 的可控制性矩阵
的秩为n。
2. 矩阵
对于每个 的特征值 ,都有满秩。
和李亚普诺夫方程的关系
可控制性格拉姆矩阵是以下李亚普诺夫方程的解
假若令
为一个解,可得:
其中用到了对于稳定 ,在 时, 的事实(所有的特征值实部均为负),因此 确实是李亚普诺夫方程的解。
格拉姆矩阵的性质
因为 是对称矩阵,因此 也是对称矩阵。
若 是稳定矩阵(所有的特征值实部均为负),可以证明 是唯一的。利甪反证法,先假设以下方程有二个不同解
分别是 和 ,因此可得:
在左右分别乘以 和 ,可得:
从 积分到 :
再利用此一事实,当 时, :
因此, 是唯一的。
也可以看出
在任何t时都为正,因此 是正定矩阵。
可控制性系统的其他特性在[1]中,以及可控制性中都有描述。
离散时间,线性非时变系统
若考虑以下的离散时间系统
其离散可控制性格拉姆矩阵是以下 的方阵
若稳定(所有的特征值绝对值均小于1),也是以下离散李亚普诺夫方程的解
若稳定(所有的特征值绝对值均小于1),而且 也是正定矩阵,则此系统有可控制性。
更多相关的性质及证明在[2]。
线性时变系统(LTV)
考虑以下的线性时变系统(LTV):
其中矩阵 , 和 的元素会随时间而变化。其可控制性格拉姆矩阵为 矩阵,定义如下:
其中 为 的状态转移矩阵。
系统 有可控制性的充份必要条是存在 ,使得可控制性格拉姆矩阵 为非奇异矩阵。
格拉姆矩阵的性质
可控制性格拉姆矩阵 有以下的性质:
可以由 的定义,以及以下的状态转移矩阵性质来推导:
其他有关可控制性格拉姆矩阵的性质可以参考[3]。
相关条目
参考资料
- ^ Chen, Chi-Tsong. Linear System Theory and Design Third Edition. New York, New York: Oxford University Press. 1999: 145. ISBN 0-19-511777-8.
- ^ Chen, Chi-Tsong. Linear System Theory and Design Third Edition. New York, New York: Oxford University Press. 1999: 169. ISBN 0-19-511777-8.
- ^ Chen, Chi-Tsong. Linear System Theory and Design Third Edition. New York, New York: Oxford University Press. 1999: 176. ISBN 0-19-511777-8.
外部链接