单子 (范畴论)

关于单子在电脑软件的应用，请见“单子 (函数式编程)”。

数学的分支范畴论中，单子（英语：monad），又称三元组（triple, triad）、标准构造（standard construction）、基本构造（fundamental construction），是一个内函子（即由某范畴映到自身的函子），连同满足特定连贯条件的两个自然变换，三者构成的整体。单子用于研究互为伴随的函子对，并将偏序集上的闭包算子推广到任意范畴。

导论与定义

单子是一类内函子（连同其他资讯）。例如，若$F$和$G$为一对伴随函子，$F$为$G$的左伴随，则复合$G\circ F$是单子。若$F$与$G$互为逆函子，则对应的单子是恒等函子。一般而言，伴随关系并不等同范畴的等价，而可以联系不同性质的范畴。为了探讨伴随关系所“保持”的性质，数学家研究单子论。理论的另一半，即藉考虑$F\circ G$，以研究伴随关系，是单子论的对偶理论。该类函子称为馀单子（英语：comonad）。

严格定义

本条目中，${\mathcal {C}}$皆表示某范畴。${\mathcal {C}}$上的单子是函子$T:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$，连同两个自然变换，分别是单位$\eta :1_{\mathcal {C}}\to T$（其中$1_{\mathcal {C}}$是${\mathcal {C}}$上的恒等函子）与乘法$\mu :T^{2}\to T$（其中$T^{2}$是复合$T\circ T$，亦是${\mathcal {C}}$到${\mathcal {C}}$的函子），且要满足下列连贯条件：

• $\mu \circ T\mu =\mu \circ \mu T$（左右皆为$T^{3}\to T$的自然变换）。此处$T\mu$与$\mu T$经水平复合而得。
• $\mu \circ T\eta =\mu \circ \eta T=1_{T}$（两者皆为$T\to T$的自然变换）。此处$1_{T}$表示由函子$T$到自身的恒等自然变换。

以上两式，亦可以下列交换图复述：

记号$T\mu$与$\mu T$的含义，参见自然变换，又或考虑以下更具体的写法，不用水平复合记号，并将各函子作用在任意物件$X$上：

定义中，若将$\mu$当成幺半群的乘法，则第一条公理类似幺半群的乘法结合律，而第二条公理类似单位元的存在性（由$\eta$给出）。准确而言，${\mathcal {C}}$上的单子，可以等价地定义为${\mathcal {C}}$的内函子范畴$\mathbf {End} _{\mathcal {C}}$中的幺半群。（该范畴的物件是$C$上的内函子，而态射是内函子间的自然变换，幺半结构来自内函子的复合运算。）如此，单子不仅在形式上具有与幺半群相似的公理，甚而单子就是幺半群的特例。

幂集单子

幂集单子${\mathcal {P}}$是集合范畴$\mathbf {Set}$上的单子。其定义中，函子$T$取为幂集运算，即$T(A)$为集合$A$的幂集，而对于函数$f:A\to B$，$T(f)$将$A$的子集映至其像集，即$T(f)(A')=f[A']$。对每个集合$A$，有函数$\eta _{A}:A\to T(A)$，对每个元素$a\in A$映至单元子集$\{a\}$， 并有函数

$\mu _{A}\colon T(T(A))\to T(A),$

将$A$的若干个子集构成的族，映至该些子集的并集。以上是幂集单子的定义。

两个单子的复合，未必为单子。举例，幂集单子${\mathcal {P}}$的二次叠代${\mathcal {P}}\circ {\mathcal {P}}$，无法配备单子结构。

馀单子

取上节定义的范畴论对偶，便是馀单子（或馀三元组）的定义。简单复述，范畴${\mathcal {C}}$上的馀单子，是对偶范畴$C^{\mathrm {op} }$上的单子。所以，馀单子是由${\mathcal {C}}$到${\mathcal {C}}$的某个函子$U$，连同馀单位与馀乘法（英语：counit and comultiplication）两个自然变换，组成的整体，而三者所要满足的公理，是将原定义中所有态射反转方向而得。

单子之于幺半群，如同馀单子之于馀幺半群。每个集合皆是馀幺半群，且仅有唯一一种方式，所以抽象代数中，较少考虑馀幺半群。然而，在线性代数中，向量空间范畴（配备张量积）的馀幺半群较为重要，以馀代数之名为人所知。

历史

单子的概念最早由罗杰·戈德芒于1958年提出，当时称为“标准构造”（英语：standard construction）。实际上，该书用到的是馀单子，用作解决某个层馀调问题。

其后，单子又出现于彼得·胡伯（Peter Huber）对范畴同伦的研究中。该论文包含由任意一对伴随函子得出单子的证明。

1965年，海因里希·克莱斯利，及塞缪尔·艾伦伯格、约翰·柯曼·摩尔二人分别独立证明反向的结论，即每个单子皆可由某对伴随函子产生。后一篇论文中，将单子称为“三元组”。

1963年，威廉·洛维尔提出泛代数的范畴论。1966年，弗雷德·林顿（Fred Linton）将该理论用单子的语言表达。单子本身来自拓扑方面的考量，事先似乎比洛维尔的理论更难处理，但已成为用范畴论语言阐述泛代数的方法中，较常见的一个。现今常用的英文名称monad是1971年由桑德斯·麦克兰恩在《现职数学家用的范畴》引入，以其类似单子论中的同名哲学概念，即某种能生出其他所有事物的实体。

1980年代，欧金尼奥·莫吉在理论计算机科学中，利用单子，为电脑程式的若干方面建立模型，包括例外处理、边界情况。此后，有多种函数式编程语言仔细实作此想法，作为一种基本规律，同样称为单子。2001年，若干数学家注意到，用单子研究程式标志语意的方法，与洛维尔的理论，两者之间有关联。。此为代数与语义间的联系，是后来活跃的研究课题。

例子

伴随的复合

若有伴随关系

$F:{\mathcal {C}}\rightleftarrows {\mathcal {D}}:G$

（即$F$为$G$的左伴随，下同），则由此有${\mathcal {C}}$上的单子。此普遍的构造，取内函子为复合

$T=G\circ F,$

而单位自然变换来自伴随的单位$\eta :\operatorname {id} _{\mathcal {C}}\to G\circ F$，乘法自然变换源自伴随的馀单位$\varepsilon$：

$T^{2}=G\circ F\circ G\circ F\xrightarrow {G\circ \varepsilon \circ F} G\circ F=T.$

反之，给定单子，可以明确找回一对伴随函子，使单子为该对伴随函子的复合。此构造用到下节定义的$T$代数的艾伦伯格－摩尔范畴$C^{T}$。

两重对偶

给定域$k$，双重对偶单子（英语：double dualisation monad）源自伴随关系

$(-)^{*}:\mathbf {Vect} _{k}\rightleftarrows \mathbf {Vect} _{k}^{\mathrm {op} }:(-)^{*},$

其中两个函子$(-)^{*}$皆将$k$向量空间$V$映至对偶空间$V^{*}:=\operatorname {Hom} (V,k)$，所以对应的单子将向量空间$V$映至双对偶$V^{**}$。Kock (1970)对此有更广泛的讨论。

偏序集的闭包算子

偏序集$(P,\leq )$可以视为特殊的范畴，任意两件物件之间有最多一支态射，且$x$到$y$有态射当且仅当偏序中$x\leq y$。于是，偏序集之间的函子，即是保序映射，而伴随函子对，则组成两偏序集间的伽罗瓦连接，相应的单子是伽罗华连接的闭包算子。

自由遗忘伴随

又举例，设$G$为群范畴$\mathbf {Grp}$至集合范畴$\mathbf {Set}$的遗忘函子，将群映至其基集，又设$F$为自由函子，由$\mathbf {Set}$到$\mathbf {Grp}$，则$F$是$G$的左伴随。此时，对应的单子$T=G\circ F$的作用是，输入一个集合$X$，输出自由群$F(X)$的基集，即字母取自$\{x,x^{-1}:x\in X\}$，且无相邻两个字母互为逆元的字串的集合。

该单子的单位变换，由包含映射

$\eta _{X}:X\rightarrow T(X)$

给出，该包含映射将$X$的任意元素，看成仅得一个字元的字串，从而是$T(X)$的元素。最后，单子的乘法

$\mu _{X}:T(T(X))\rightarrow T(X)$

是串接或“压平”运算，将若干条字串组成的串，映至该串中所有字串前后连接而成的一条字串。至此描述完单子的两个自然变换。

前述例子中，自由群可以推广至其他种类的代数结构，即泛代数意义下的任意一簇代数。如此，每类代数定义了集合范畴上的一个单子。更重要的是，该类代数的范畴，可从单子找回，即单子的艾伦伯格－摩尔代数范畴，故单子可视为泛代数之簇的推广。

另外，尚有一个单子源自伴随关系。在向量空间范畴$\mathbf {Vect}$上，若$T$表示将向量空间$V$映至其张量代数$T(V)$的内函子，则相应有单位自然变换将$V$嵌入到其张量代数，并有乘法自然变换，在$V$处的分量是态射$T(T(V))\to T(V)$，将张量积之张量积展开化简。

馀密度单子

只要满足某些不强的条件，无左伴随的函子也可以产生单子，称为馀密度单子。例如，从有限集合范畴$\mathbf {FinSet}$到集合范畴$\mathbf {Set}$的包含函子无法配备左伴随，但其馀密度单子定义在$\mathbf {Set}$上，将任意集合$X$映至其上所有超滤子的集合$\beta X$。 类似例子见于Leinster (2013)。

单子的代数

参见：F代数和伪代数

给定范畴${\mathcal {C}}$上的单子$(T,\eta ,\mu )$，可以考虑${\mathcal {C}}$中的${\boldsymbol {T}}$代数物件。$T$在该些物件上的作用，与单子的单位与乘法相容。具体而言，${\boldsymbol {T}}$代数$(x,h)$是${\mathcal {C}}$中的物件$x$，连同态射$h:Tx\to x$（称为该代数的结构映射），使得图

及

皆可交换。

$T$代数间的态射$f:(x,h)\to (x',h')$是${\mathcal {C}}$中的态射$f:x\to x'$，且要使

可交换。于是，$T$代数及之间的态射组成范畴，称为艾伦伯格－摩尔范畴（英语：Eilenberg–Moore category），记为${\mathcal {C}}^{T}$.

例子

自由群单子上的代数

若$T$为前述自由群单子，则$T$代数是集合$X$，连同由$X$生成的自由群$F(X)$到$X$的映射（求值，evaluation），且该映射要满足结合律与单位元的公理。换言之，$X$本身就具有群结构，而$F(X)$至$X$的映射，是将字串按$X$的群乘法，计算所得的结果

分布单子上的代数

另一个例子是集合范畴上的分布单子（英语：distribution monad）${\mathcal {D}}$，其将集合$X$映至其上所有有限支撑的概率分布的集合。该等分布，是函数$f:X\to [0,1]$，仅于有限多个元素$x\in X$处取值非零，而各元素处取值之和为$1$。以符号表示，

${\mathcal {D}}(X)=\left\{f:X\to [0,1]:{\begin{matrix}\#{\text{supp}}(f)<+\infty ,\\\sum _{x\in X}f(x)=1\end{matrix}}\right\}.$

可由定义证明，分布单子上的代数，等同于凸集，即集合要配备二元运算$+_{r}$（对每个$r\in [0,1]$），满足的公理比照欧氏空间中，凸组合$(x,y)\mapsto rx+(1-r)y$具备的性质。

对称单子上的代数

另一个有用的单子，是交换环$R$的模范畴$\mathbf {Mod} _{R}$上的对称代数单子

${\text{Sym}}^{\bullet }(-):\mathbf {Mod} _{R}\to \mathbf {Mod} _{R}$

将$R$模$M$映到各阶对称张量幂的直和

${\text{Sym}}^{\bullet }(M)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\text{Sym}}^{k}(M)$

其中${\text{Sym}}^{0}(M)=R$。例如，${\text{Sym}}^{\bullet }(R^{\oplus n})\cong R[x_{1},\ldots ,x_{n}]$，左右两边作为$R$模同构。如此，对称代数单子上的代数，是交换$R$代数。类似地，也有反对称张量单子${\text{Alt}}^{\bullet }(-)$与全张量单子$T^{\bullet }(-)$，相应的代数分别是反对称$R$代数与自由$R$代数，故

${\begin{aligned}{\text{Alt}}^{\bullet }(R^{\oplus n})&=R(x_{1},\ldots ,x_{n}),\\{\text{T}}^{\bullet }(R^{\oplus n})&=R\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ,\end{aligned}}$

前者是$R$上添加$n$个生成元的自由反对称代数，而后者则是$n$个生成元的自由代数。

E_∞环谱中的交换代数

对于可交换$\mathbb {S}$代数，亦有类似的构造，对于可交换$\mathbb {S}$代数$A$，对应单子上的代数是可交换的$A$代数。若$\mathbf {Mod} _{A}$表示$A$模的范畴，则可以考虑函子$\mathbb {P} :\mathbf {Mod} _{A}\to \mathbf {Mod} _{A}$，定义为

$\mathbb {P} (M)=\bigvee _{j\geq 0}M^{j}/\Sigma _{j},$

其中

$M^{j}=\underbrace {M\wedge _{A}\cdots \wedge _{A}M} _{j}.$

此函子是单子，而由该单子上的代数范畴，可以得到可交换$A$代数的范畴${\mathcal {C}}_{A}$。

单子与伴随

如前文所述，任何伴随关系皆产生单子。反之，每个单子$T$皆可由某个伴随关系产生，即原范畴与$T$代数的艾伦伯格－摩尔范畴之间的自由－遗忘伴随

$T(-):{\mathcal {C}}\rightleftarrows {\mathcal {C}}^{T}:F.$

其中，左伴随$T(-)$将${\mathcal {C}}$的物件$x$映到自由$T$代数$T(x)$，右伴随$F$则将$T$代数$(x,h)$遗忘掉$h$，变回$x$。然而，通常有多组不同的伴随关系产生同样的单子，该些伴随关系组成范畴$\mathbf {Adj} ({\mathcal {C}},T)$：物件是伴随关系$(F,G,\eta ,\varepsilon )$使得$(GF,\eta ,G\varepsilon F)=(T,\eta ,\mu )$，而态射是在${\mathcal {C}}$一侧为恒等函子的伴随关系态射。如此，艾伦伯格－摩尔范畴的自由－遗忘伴随${\mathcal {C}}^{T}$是$\mathbf {Adj} ({\mathcal {C}},T)$的终物件，而始物件是克莱斯利范畴${\mathcal {C}}_{T}$，定义为${\mathcal {C}}^{T}$中的自由$T$代数组成的完全子范畴，即仅包含形如$T(x)$的$T$代数，其中$x$历遍${\mathcal {\mathcal {C}}}$的物件。

单子伴随

设有伴随关系$(F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}},G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}},\eta ,\varepsilon )$，对应单子为$T$，则函子$G$可分解为

${\mathcal {D}}\xrightarrow {\tilde {G}} {\mathcal {C}}^{T}\xrightarrow {F} {\mathcal {C}},$

其中$F$是遗忘函子。换言之，对${\mathcal {D}}$中任意物件$Y$，都能赋予$G(Y)$自然的$T$代数结构。若分解式中，首个函子${\tilde {G}}$给出${\mathcal {D}}$与$C^{T}$两范畴间的等价，则形容该伴随关系为单子的（英语：monadic）。后亦引申用作形容函子，若函子$G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}$有左伴随$F$，且该伴随关系为单子的，则$G$亦称为单子的。例如，群范畴与集合范畴间的自由－遗忘伴随是单子的，因为相应单子$T$上的$T$代数是群（见前文）。一般而言，若有伴随关系$(F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}},G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}},\eta ,\varepsilon )$为单子的，则单从${\mathcal {C}}$的物件及其上的$T$作用，已足以重组出${\mathcal {D}}$的物件。

贝克单子性定理

主条目：贝克单子性定理

贝克单子性定理给出伴随关系在何种充要条件下为单子的。定理有以下简化版：

若满足以下三项条件：

• $G$为保守函子，换言之，$G$反映同构（英语：reflects isomorphisms），即对${\mathcal {D}}$中每一支态射，其为同构当且仅当在$G$作用下的像为${\mathcal {C}}$中的同构；
• ${\mathcal {C}}$有馀等化子；
• $G$保馀等化子；

则$G$为单子的。

例如，由紧豪斯多夫空间范畴$\mathbf {CHaus}$到集合范畴$\mathbf {Set}$的遗忘函子是单子的。然而，由任意拓扑空间范畴$\mathbf {Top}$到集合范畴$\mathbf {Set}$的遗忘函子则并非单子的，而定理中，保守函子的条件不成立，因为有非紧或非豪斯多夫空间，之间存在连续双射，但不为同胚。 贝克定理有对偶版本，刻划馀单子伴随关系，对拓扑斯论及有关下降的代数几何课题有用。

馀单子的伴随关系，首先有下列例子：

$-\otimes _{A}B:\mathbf {Mod} _{A}\rightleftarrows \mathbf {Mod} _{B}:F,$

其中$A,B$皆为交换环，左伴随用到的张量积$\otimes _{A}$的定义中，选定了环同态$A\to B$，而右伴随$F$是遗忘函子。根据贝克定理，当且仅当$B$为忠实平坦$A$模时，该伴随为馀单子的。所以，可将配备下降数据（英语：descent datum，即源自伴随关系的馀单子的作用）的$B$模，降成$A$模。所得的忠实平坦下降理论，广泛应用于代数几何。

用途

函数式编程中，会使用单子表达某类（有时有副作用的）顺序式计算，见单子 (函数式编程)。

范畴论逻辑中，藉闭包算子、内代数，以及两者与S4模态逻辑、直觉主义逻辑的关系，能以单子馀单子理论类比模态逻辑。

推广

亦可定义2-范畴${\mathcal {C}}$中的单子。

参见

• 单子间的分配律
• 洛维尔理论
• 单子 (函数式编程)——函数式编程中，用作构造通用类型的设计模式
• 多子 (范畴论)
• 强单子

参考文献

• Barr, Michael; Wells, Charles. Category Theory for Computing Science [电脑科学用的范畴论] (PDF). 1999 [2021-09-24]. （原始内容存档 (PDF)于2021-12-30） （英语）. 
• Kock, Anders. On Double Dualization Monads [论双重对偶单子]. Mathematica Scandinavica. 1970, 27: 151. doi:10.7146/math.scand.a-10995  （英语）. 
• Leinster, Tom. Codensity and the ultrafilter monad [馀密度与超滤子单子]. Theory and Applications of Categories. 2013, 28: 332–370. Bibcode:2012arXiv1209.3606L. arXiv:1209.3606  （英语）. 
• MacLane, Saunders. Categories for the Working Mathematician [现职数学家用的范畴]. Graduate Texts in Mathematics 5. 1978. ISBN 978-1-4419-3123-8. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8  （英语）. 
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter (编). Categorical Foundations. Special Topics in Order, Topology, Algebra, and Sheaf Theory [范畴基础。序、拓扑、代数、层论特别专题]. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 97. Cambridge: Cambridge University Press. 2004. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001 （英语）. 
• Riehl, Emily. Category Theory in Context [脉络中的范畴论] (PDF). 2017. ISBN 9780486820804. （原始内容存档 (PDF)于5 Apr 2021） （英语）. 
• Turi, Daniele. Category Theory Lecture Notes [范畴论讲义] (PDF). 1996–2001 [2021-09-24]. （原始内容存档 (PDF)于2022-02-21） （英语）.