四维频率

本条目中，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。四维矢量用加有标号的斜体显示。例如，${x}^{\mu }\,\!$或${x}_{\mu }\,\!$。为了避免歧意，四维矢量的斜体与标号之间不会有括号。例如，$(x)^{2}\,\!$表示$x\,\!$平方；而${x}^{2}\,\!$是${x}^{\mu }\,\!$的第二个分量。

在电磁学里，平面电磁波的四维频率 $f^{\mu }$ 以公式定义为

$f^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left(f,\,f\mathbf {n} \right)$ ；

其中，$f$ 是电磁波的频率，$\mathbf {n}$ 是朝著电磁波传播方向的单位矢量。

四维频率与自己的内积永远等于零：

${f}^{\mu }{f}_{\mu }=(f)^{2}(1-n^{2})=0$ 。

类似地，四维角频率 $\omega ^{\mu }$ 以公式定义为

$\omega ^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left(\omega ,\,\omega \mathbf {n} \right)$ ；

其中，$\omega$ 是电磁波的角频率。

显然地，

$\omega ^{\mu }=2\pi f^{\mu }$ 。

四维波向量 ${k}^{\mu }$ 与四维角频率有密切的关系，定义为

${k}^{\mu }=\left(k,\,\mathbf {k} \right)$ ；

其中，$\mathbf {k}$ 是电磁波的波向量。

在本篇文章里，闵可夫斯基度规的形式被规定为 $diag(1,-1,-1,-1)$ ，这是参考了约翰·杰克森（John D. Jackson）的著作《经典电动力学》中所采用的形式；并且使用了经典的张量代数以及爱因斯坦求和约定。

劳仑兹变换

给予两个惯性参考系 ${\mathcal {S}}$ 、${\overline {\mathcal {S}}}$ ；相对于参考系 ${\mathcal {S}}$ ，参考系 ${\overline {\mathcal {S}}}$ 以速度 $\mathbf {v}$ 移动。对于这两个参考系，相关的劳仑兹变换矩阵 $\Lambda _{\nu }^{\mu }$ 是

$\Lambda _{\nu }^{\mu }={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta _{x}\,\gamma &-\beta _{y}\,\gamma &-\beta _{z}\,\gamma \\-\beta _{x}\,\gamma &1+(\gamma -1){\frac {\beta _{x}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{x}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{x}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\beta _{y}\,\gamma &(\gamma -1){\frac {\beta _{y}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\frac {\beta _{y}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{y}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\beta _{z}\,\gamma &(\gamma -1){\frac {\beta _{z}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{z}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\frac {\beta _{z}^{2}}{\beta ^{2}}}\\\end{bmatrix}}$ ；

其中，$\gamma ={\cfrac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}$ 是劳仑兹因子，$\beta ={\frac {v}{c}}$ 是贝他因子，$\beta _{x}$ 、$\beta _{y}$ 、$\beta _{z}$ 分别是参考系 ${\overline {\mathcal {S}}}$ 对于参考系 ${\mathcal {S}}$ 的 x-轴、y-轴、z-轴方向的相对速度 $v_{x}$ 、$v_{y}$ 、$v_{z}$ 的贝他因子。

设定一个朝著 ${\hat {\mathbf {k} }}$ 方向传播于真空的平面电磁波，对于参考系 ${\mathcal {S}}$ ，这平面电磁波以公式表达为

$\mathbf {E} =E_{0}e^{-i(k^{\mu }x_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}$ 、

$\mathbf {B} =B_{0}e^{-i(k^{\mu }x_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}$ ；

其中，$\mathbf {E}$ 、$\mathbf {B}$ 分别是电磁波的电场、磁场，$E_{0}$ 、$B_{0}$ 分别是其波幅，$k^{\mu }$ 是四维波向量，$x_{\mu }=(ct,-\mathbf {x} )$ 是四维位置，$\mathbf {x}$ 是位置，${\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}$ 、${\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}$ 分别垂直于 ${\hat {\mathbf {k} }}$ ，而且 ${\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}={\hat {\mathbf {k} }}\times {\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}$ 。

那么，对于参考系 ${\overline {\mathcal {S}}}$ ，这平面电磁波以公式表达为

${\overline {\mathbf {E} }}={\overline {E}}_{0}e^{-i({\overline {k}}^{\mu }{\overline {x}}_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}$ 、

${\overline {\mathbf {B} }}={\overline {B}}_{0}e^{-i({\overline {k}}^{\mu }{\overline {x}}_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}$ 。

四维波向量 ${\overline {k}}^{\mu }$ 与 ${k}^{\mu }$ 之间的关系为

${\overline {k}}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }{k}^{\nu }$ 。

经过一番运算，可以求得

${\overline {k}}={\overline {k}}^{0}=\gamma (k-\beta _{x}k_{x}-\beta _{y}k_{y}-\beta _{z}k_{z})=k^{\mu }v_{\mu }/c$ ；

其中，$v_{\mu }=(\gamma c,\,-\gamma \mathbf {v} )$ 是参考系 ${\overline {\mathcal {S}}}$ 相对于参考系 ${\mathcal {S}}$ 的四维速度，$\mathbf {v}$ 是参考系 ${\overline {\mathcal {S}}}$ 相对于参考系 ${\mathcal {S}}$ 的速度。

在真空里，四维频率与四维波向量之间的关系为

$f^{\mu }=ck^{\mu }/2\pi$ 。

所以，

${\overline {f}}={\overline {f}}^{0}=f^{\mu }v_{\mu }/c$ 。

这也是参考系 ${\overline {\mathcal {S}}}$ 的观察者所观察到的频率。

参阅

• 四维向量
• 电磁张量

参考文献

• Woodhouse, N.M.J. Special Relativity. London: Springer-Verlag. 2003: 84-90. ISBN 1852334266. 
• Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 477–543. ISBN 0-13-805326-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link)