外积 (张量积)

关于其他常称作外积的相关二元运算，参阅外积。

外积（英语：outer product），在线性代数中一般指两个向量的张量积，其结果为一矩阵；与外积相对，两向量的内积结果为纯量。

外积也可视作是矩阵的克罗内克积的一种特例。注意到：一些作者将“张量的外积”作为张量积的同义词。

矩阵乘法定义

向量的外积是矩阵的克罗内克积的特殊情况。

给定$m\times 1$ 列向量$\mathbf {u}$和$1\times n$ 行向量$\mathbf {v}$，它们的外积$\mathbf {u} \otimes \mathbf {v}$被定义为$m\times n$矩阵$\mathbf {A}$，结果出自

$\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {A} =\mathbf {u} \mathbf {v}$

这里的张量积就是向量的乘法。

使用坐标：

${\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\b_{4}\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{2}b_{1}&a_{3}b_{1}\\a_{1}b_{2}&a_{2}b_{2}&a_{3}b_{2}\\a_{1}b_{3}&a_{2}b_{3}&a_{3}b_{3}\\a_{1}b_{4}&a_{2}b_{4}&a_{3}b_{4}\end{bmatrix}}$

对于复数向量，习惯使用$\mathbf {v}$的复共轭(指示为${\bar {\mathbf {v} }}$)，因为人们把行向量认为是对偶空间的复共轭向量空间的元素：

$\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {A} =\mathbf {u} {\bar {\mathbf {v} }}$

如果$\mathbf {v}$是列向量，定义变为：

$\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {A} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{*}$

这里的$\mathbf {v} ^{*}$是$\mathbf {v}$的共轭转置。

相对于外积

如果$\mathbf {v}$是列向量，而且m = n，则可以采用其他方式的积，生成一个标量(或$1\times 1$矩阵):

$\left\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \right\rangle =\left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \right\rangle =\mathbf {v} \mathbf {u}$

它是欧几里得空间的标准内积，常叫做点积。

抽象定义

给定向量$v\in V$和余向量$w^{*}\in W^{*}$，张量积$v\otimes w^{*}$给出映射$A\colon W\to V$，在同构$\mathrm {Hom} (W,V)=W^{*}\otimes V$之下。

具体的说，给定$w\in W$，

$A(w):=w^{*}(w)v$

这里的$w^{*}(w)$是$w^{*}$在w上的求值，它生成一个标量，接着乘v。

可作为替代，它是$w^{*}\colon W\to K$与$v\colon K\to V$的复合。

如果$W=V$，则还可以配对$w^{*}(v)$，这是内积。

参见

• 内积
• 叉积
• 张量积