多面体半形
多面体半形，为一类型的射影多面体，同时也是抽象多面体。其可透过将点对称的球面多面体进行对映映射后得到。多面体半形的面数只有原多面体的一半，而且投影平面上位于边缘的对角顶点、对角边、对角面皆视为相同几何元素。存在半形体的多面体的必要条件为其原像须具备点对称的特性，而向正四面体不具备点对称的特性[1]，因此正四面体不存在半形体。
性质
若两多面体互为对偶多面体，则其对应的半形体也互为对偶多面体。例如立方体与正八面体互为对偶多面体，则立方体半形与正八面体半形也互为对偶多面体。多面体的半形体皆为不可定向图形。[2]
种类
正多面体半形
除了正四面体外，其他正多面体都存在半形体[3][4][5][6]。
 立方体半形 |
 八面体半形 |
 十二面体半形 |
 二十面体半形 |
均匀多面体半形
 截半立方体半形（原像：截半立方体）[7] |
 菱形十二面体半形（原像：菱形十二面体） |
 截角二十面体半形（原像：截角二十面体） |
多面形半形
多面形是一种球面多面体，由球面的一点与其对跖点相连接而成，并将球面分成多个部分。若球面被分割的数量为偶数，则该多面形存在半形体。例如二面形、四面形、六面形等多面形皆存在半形体。[9]
前几个多面形半形性质如下：
| n | 名称 | 施莱夫利符号 | 面数 | 边数 | 顶点数 | 原始立体 | 原始立体的元素数 f:面, e:边, v:顶点 |
对偶多面体 | 皮特里对偶 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 二面形半形 | {2,2}1[9] | 1 | 1 | 1 | 二面形 | f:2, e:2, v:2 | （自身对偶） | 一角形二面体 (f:2, e:1, v:1)[10] |
| 4 | 四面形半形 | {2,4}4[9] | 2 | 2 | 1 | 四面形 | f:4, e:4, v:2 | 正方形二面体半形 |  {4,4}1,0 (f:1, e:2, v:1)[11] |
| 6 | 六面形半形 | {2,6}3[9] | 3 | 3 | 1 | 六面形 | f:6, e:6, v:2 | 六边形二面体半形 |  {3,6}1,1 (f:2, e:3, v:1)[12] |
| 8 | 八面形半形 | {2,8}8[9] | 4 | 4 | 1 | 八面形 | f:8, e:8, v:2 | 八边形二面体半形 | S2:{8,8} (f:1, e:4, v:1)[13] |
| 2n | 2n面形半形 | n | n | 1 | 2n面形 | f:2n, e:2n, v:2 | 2n边形二面体半形 | (不一定) |
多边形二面体半形
多边形二面体是指多边形在三维空间中不会仅有一个面，其正面与反面会成对出现，因此称为多边形二面体。而成对出现的面（正面与反面）则满足多面体半形的定义，仅要原始多边形具备点对称特性及可取半形，例如正方形二面体可以取半形体，成为正方形二面体半形。[9][14]
多边形二面体半形是一种多面体半形，属于抽象正多面体，有著多边形二面体一半的面。其对应于图论中的循环图。[15]仅有偶数边数的多边形二面体可以存在多面体半形。2p边形二面体半形具有1个面、p条边和p个顶点，亏格为1，在施莱夫利符号中可以用{2p,2}/2表示。[9][15]
前几个多边形二面体半形性质如下：
| n | 名称 | 施莱夫利符号 | 面数 | 边数 | 顶点数 | 原始立体 | 原始立体的元素数 f:面, e:边, v:顶点 |
对偶多面体 | 皮特里对偶 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 |  正方形二面体半形 |
{4,2}4[9] | 1 | 2 | 2 | 正方形二面体 | f:2, e:4, v:4 | 四面形半形[16] | （自身皮特里对偶）[16] |
| 6 |  六边形二面体半形 |
{6,2}3[9] | 1 | 3 | 3 | 六边形二面体 | f:2, e:6, v:6 | 六面形半形 | 三角形二面体 (f:2, e:3, v:3)[17] |
| 8 |  八边形二面体半形 |
{8,2}8[9] | 1 | 4 | 4 | 八边形二面体 | f:2, e:8, v:8 | 八面形半形[18] | （自身皮特里对偶）[18] |
参考文献
- ^ Henry Cohn. A tight squeeze. Mathematical physics, Nature. 2009, (460): 801–802 [2021-07-31]. doi:10.1038/460801a. （原始内容存档于2021-07-31）.
- ^ Carlo H. Séquin, Tubular Sculptures, CS Division, University of California, Berkeley, CA, 2021-07 [2021-07-31], （原始内容存档于2021-07-31）
- ^ The hemicube. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2019-05-02）.
- ^ The hemioctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2016-03-04）.
- ^ The hemidodecahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2017-03-16）.
- ^ The hemi-icosahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2016-08-29）.
- ^ 7.0 7.1 The hemi-cuboctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2021-01-26）.
- ^ The hemi-icosidodecahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2021-08-02）.
- ^ 9.00 9.01 9.02 9.03 9.04 9.05 9.06 9.07 9.08 9.09 Regular maps in the non-orientable surface of genus 1. Regular Map database - map details. [2021-07-31]. （原始内容存档于2019-12-28）.
- ^ The dimonogon. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2021-07-31）.
- ^ {4,4}(1,0). Regular Map database - map details. [2021-07-24].
- ^ {3,6}(1,1). Regular Map database - map details. [2021-07-24].
- ^ S2:{8,8}. Regular Map database - map details. [2021-07-24].
- ^ N.S.Wedd. Regular Maps in the Projective Plane. Regular Map database, weddslist.com. [2021-07-24]. （原始内容存档于2020-01-28）.
- ^ 15.0 15.1 Séquin, Carlo. Symmetrical immersions of low-genus non-orientable regular maps (PDF). Berkeley University. [2020-08-14]. （原始内容存档 (PDF)于2015-09-23）.
- ^ 16.0 16.1 The hemi-di-square. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2020-02-01）.
- ^ The hemi-di-hexagon. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2016-03-14）.
- ^ 18.0 18.1 The hemi-di-octagon. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2016-03-14）.