大二十面体

在几何学中，大二十面体是一种星形二十面体，由20个正三角形组成，其在非凸均匀多面体被编号为U₅₃、在温尼尔多面体模型被编号为W₄₁，是四种星形正多面体之一，对偶多面体为大星形十二面体。

大二十面体

（按这里观看旋转模型）
类别	星形正多面体 星形二十面体
对偶多面体	大星形十二面体
识别
名称	大二十面体
参考索引	U53, C69, W41
鲍尔斯缩写	gike
数学表示法
考克斯特符号
施莱夫利符号	{3,5/2}
威佐夫符号	5/2 | 2 3
性质
面	20
边	30
顶点	12
欧拉特征数	F=20, E=30, V=12 （χ=2）
亏格	0
组成与布局
面的种类	20个正三角形
面的布局	20{3}
顶点图	(35)/2
对称性
对称群	Ih, H3, [5,3], (*532)
特性
正、等面、等边、等角
图像
(35)/2 （顶点图） 大星形十二面体 （对偶多面体）

性质

大二十面体共有20个面、30条边和12个顶点，20个面中，全部都是正三角形，且每个顶点都是5个三角形的公共顶点，但其以类似五角星的方式安排面的位置，使面互相相交，顶点图为五角星，在施莱夫利符号中可以用{3,5/2}来表示，而在考克斯特符号中以表示。

顶点座标

边长为1位于原点大二十面体的顶点座标为：

$(0,\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}})$

$(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}},0)$

$(\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}},0,\pm {\frac {1}{2}})$

二面角

大二十面体是一种正图形，因此其每个二面角都相等，皆为两个正三角形的棱之交角，其值为五平方根的三分之一之反馀弦值：

$\cos ^{-1}({\frac {\sqrt {5}}{3}})\approx 0.7297\approx 41.8103^{\circ }$

相关多面体

名称	大星形十二面体	截角大星形十二面体	大截半二十面体	截角大二十面体	大二十面体
考式
图像

对偶复合体

主条目：复合大二十面体大星形十二面体

大二十面体与其对偶的复合体为复合大二十面体大星形十二面体。其共有32个面、60条边和32个顶点，其尤拉示性数为4，亏格为-1，有12个非凸面，是一种截半二十面体的星形多面体。

从三角形的星状图

从五边形的星状图

参考文献

1. Wenninger, Magnus. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9. 
2. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F. The fifty-nine icosahedra 3rd. Tarquin. 1999. ISBN 978-1-899618-32-3. MR 0676126.  (1st Edn University of Toronto (1938))
3. H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8, 3.6 6.2 Stellating the Platonic solids, pp.96-104

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. 大二十面體. MathWorld.