定向缠结

数学与物理学中，定向缠结（英语：orientation entanglement）被用来提供旋量几何的直观概念或用来展示特殊正交群无法是单连通的。

空间中的一点可以连续地自旋而不会发生缠结。注意到经过360度的旋转后，带状螺旋体可分为顺时针与逆时针两种定向。在旋转720度后，回到原来的构形。

概述

空间向量并不足以完整描述空间中的旋转。考虑如下的例子：

一只咖啡杯，握把与其对侧各黏著一条弹性橡皮带。咖啡杯能以杯碗的中心对称轴做旋转。

房间中有一只咖啡杯，握把与对侧各黏有一条弹性橡皮带，橡皮带的另一端则固定在房间墙壁上，如此使咖啡杯悬浮著。握把以杯碗的中心对称轴旋转了360°，回到原来的位置。注意到虽然杯子看似回到原始的位置定向，但其相对墙壁的定向则发生扭结。若我们将咖啡杯压低至地板上，两条橡皮带将互相缠绕成双螺旋状的一匝扭转。此即定向缠结——透过缠绕的橡皮带可以得知，咖啡杯在房间中的新定向其实不同于旧的定向。换句话说，咖啡杯的定向与周围墙壁的定向发生了缠结。

若画一个向量跨越咖啡杯，而向量箭头朝向咖啡杯握把。在完整旋转360°后，向量会跟原来的向量叠合。透过向量本身并无法得知咖啡杯的定向与房间墙壁的定向发生缠结。很显然，空间向量几何本身并不足以表示定向缠结（橡皮带的扭结）。事实上，若不再旋转咖啡杯，则扭结无法解开。若我们不是360°旋转咖啡杯，而是720°旋转咖啡杯；当我们将压低咖啡杯至地板上，会发现两条橡皮带将互相缠绕成双螺旋的两匝扭转。若将咖啡杯向上挪，通过螺旋中心挪到另一侧，则扭结消失不见，橡皮带不再彼此缠绕。并不需要做额外的旋转即恢复原状。

旋量

因此，透过附在咖啡杯上的向量，我们无法区分360°旋转与720°旋转的差异；若附在咖啡杯上的改为旋量，则变成可以区分这两种情形。在此情况下，旋量变得有点像是一种“极化”的向量，其可表示为一个在莫比乌斯带上移动的向量。一开始在莫比乌斯带正面，箭头朝环带内；在旋转360°后，向量移到莫比乌斯带背面，箭头朝环带外。若再转360°（总和720°），才回到莫比乌斯带正面，并且箭头朝环带内，相应于咖啡杯与橡皮带的例子。

数学细节

三维空间中，上述的例子对应到SO(3)李群不是单连通的。我们可以展示亦是三维欧几里得空间中旋量群的特殊幺正群SU(2)，其为SO(3)的双覆叠群。若X = (x₁,x₂,x₃)是R³中的向量，则我们可以将X表示作具有复数元素的2 × 2矩阵

$X=\left({\begin{matrix}x_{1}&x_{2}-ix_{3}\\x_{2}+ix_{3}&-x_{1}\end{matrix}}\right)$

注意到矩阵行列式的负值−det(X)正是X作为向量时的欧几里得长度平方(x₁² + x₂² + x₃²)，而X是迹数为零的厄米矩阵。

幺正群M ∈ SU(2)作用在X：

$X\mapsto MXM^{\dagger }$

因为M是幺正的，则${\rm {{det}(MXM^{\dagger })={\rm {{det}(X)}}}}$，并且$MXM^{\dagger }$为零迹数的厄米矩阵。

参考资料

• Feynman, Leighton, Sands. 《费曼物理学讲义》 3 volumes 1964, 1966. Library of Congress Catalog Card No. 63-20717

  • ISBN 0-201-02115-3 (1970 paperback three-volume set)
  • ISBN 0-201-50064-7 (1989 commemorative hardcover three-volume set)
  • ISBN 0-8053-9045-6 (2006 the definitive edition (2nd printing); hardcover)

外部链接

• Animation of the Dirac belt trick with two belt attached to a (square) object, showing orientation entanglement after one turn, and lack of entanglement after two turns. The animation thus also shows that belted objects behave as spin 1/2 particles.（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Air on the Dirac Strings, showing orientation entanglement with several belts attached to a spherical particle, by Louis Kauffman and colleagues
• Dirac String Trick