对数分布

在概率论与统计学中，对数分布是一种离散概率分布形式，它也称为对数级数分布。

对数分布

参数	$0<p<1\!$
值域	$k\in \{1,2,3,\dots \}\!$
概率质量函数	${\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {\;p^{k}}{k}}\!$
累积分布函数	$1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln(1-p)}}\!$
期望值	${\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p}{1-p}}\!$
众数	$1$
方差	$-p\;{\frac {p+\ln(1-p)}{(1-p)^{2}\,\ln ^{2}(1-p)}}\!$
矩生成函数	${\frac {\ln(1-p\,\exp(t))}{\ln(1-p)}}\!$
特征函数	${\frac {\ln(1-p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)}}\!$

对数分布是从−ln(1−p)的麦克劳伦级数展开

$-\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .$

派生出来的，因此

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.$

这样就可以直接导出呈Log(p)分布的随机变量在$k\geq 1$且$0<p<1$时的概率集聚函数：

$f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}$

由于上面是单位值，所以这个分布已经进行了归一化。

累积分布函数位

$F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln(1-p)}}$

其中$\mathrm {B}$是不完全贝塔函数。

罗纳德·费雪将这种分布应用在群体遗传学上。

参见

• 泊松分布（also derived from a Maclaurin series）