小三角六边形二十面体

小三角六边形二十面体
类别	均匀多面体对偶; 星形多面体; 星形二十面体
对偶多面体	小双三斜三十二面体
识别
名称	小三角六边形二十面体
参考索引	DU30, 2/59, W26
性质
面	20
边	60
顶点	32
欧拉特征数	F=20, E=60, V=32 （χ=-8）
亏格	5
组成与布局
面的种类	20个等边六边形;
顶点布局; （英语：Vertex_configuration）	两种顶点; 5个六边形的公共顶点; 3个六边形的公共顶点
对称性
对称群	Ih, H3, [5,3], (*532)
特性
	等面、等边
图像
	; 小双三斜三十二面体; （对偶多面体）
	; 小双三斜三十二面体; （对偶多面体）
	查; 论; 编;

在几何学中，小三角六边形二十面体是一种星形二十面体^[1]^[2]，由20个等边但不等角且互相相交的六边形组成^[3]，其索引编号为DU₃₀。温尼尔在他的书中列出28种星形多面体模型，并将小三角六边形二十面体给予编号W₂₆^[4]。其也收录于哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特的书《五十九种二十面体》中，编号为2^[5]。

小三角六边形二十面体的对偶多面体是一种均匀多面体，是由五角星和三角形组成的小双三斜三十二面体。

性质

小三角六边形二十面体由20个面、60条边和32个顶点组成^[6]^[7]，每个面都是等边六边形，但不是正六边形，每个六边形彼此互相相交，其共存在两种顶角，分别为5个六边形的公共顶点和3个六边形的公共顶点

作为一个星形多面体，其具有正二十面体的星状核和五角化十二面体的凸包。

星状图（英语：Stellation diagram）	外观	星状核	凸包
		正二十面体	五角化十二面体

若作为凹多面体，即将原本互相相交的六边形面去除隐没部分其馀部分分为3个三角形，这种结构与星形三角化二十面体相同

星形三角化二十面体	小三角六边形二十面体	三角化二十面体	正二十面体

小三角六边形二十面体的顶点座标为^[8]：

(0,\pm {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}},\pm {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}})

(\pm {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}},0,\pm {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}})

(\pm {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}},\pm {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}},0)

(\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}},0,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}})

(\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}},\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}},0)

(0,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}},\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}})

(\pm {\frac {\sqrt {5}}{5}},\pm {\frac {\sqrt {5}}{5}},\pm {\frac {\sqrt {5}}{5}})

小三角六边形二十面体二面角为负三分之一的反馀弦值^[9]：

\cos ^{-1}(-{\frac {1}{3}})\approx 1.9106\approx 109.4712^{\circ }

一个边长为a的小三角六边形二十面体，其表面积和体积为^[10]：

A=3{\sqrt {15}}a^{2}\approx 11.61895a^{2}

V={\frac {5+3{\sqrt {5}}}{4}}a^{3}\approx 2.92705a^{3}.

其中A代表表面积 $A=3{\sqrt {15}}a^{2}$ 约为11倍的边长平方、V代表体积 $V={\frac {1}{4}}(5+3{\sqrt {5}})a^{3}$ 约为3倍的边长立方。

Wenninger, Magnus. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.
Wenninger, Magnus. Dual Models. Cambridge University Press. 1983. ISBN 0-521-54325-8.
Coxeter, Harold Scott MacDonald; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F. The fifty-nine icosahedra 3rd. Tarquin. 1999. ISBN 978-1-899618-32-3. MR 676126. (1st Edn University of Toronto (1938))

^ Topological Small Triambic Icosahedron. software3d.com. [2016-09-01]. （原始内容存档于2015-09-21）.
^ Maeder, R. E. "The Stellated Icosahedra." （页面存档备份，存于互联网档案馆） Mathematica in Education 3, 5-11, 1994.
^ Grünbaum, Branko. Can Every Face of a Polyhedron Have Many Sides? (PDF). digital.lib.washington.edu. 2008 [2021-07-19]. （原始内容存档 (PDF)于2021-07-19）.
^ Wenninger, Magnus（英语：Magnus J. Wenninger）. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.
^ H·S·M·考克斯特. 五十九種二十面體. H. T. Flather, J. F. Petrie. Springer Science & Business Media. 2012. ISBN 9781461382164.
^ small triambic icosahedron. bulatov.org. [2016-09-01]. （原始内容存档于2015-09-06）.
^ Small triambic icosahedron 3D model. craftsmanspace. [2016-09-01]. （原始内容存档于2016-08-10）.
^ Data of Small Triambic Icosahedron. dmccooey.com. [2016-09-01]. （原始内容存档于2016-09-01）.
^ Versi-Regular Polyhedra: Small Triambic Icosahedron. dmccooey.com. [2016-09-01]. （原始内容存档于2016-03-24）.
^ Weisstein, Eric W. (编). Small Triambic Icosahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. （原始（页面存档备份，存于互联网档案馆）内容于2016-08-01）.
^ compound of small ditrigonal icosidodecahedron and small triambic icosahedron. bulatov.org. [2016-09-01]. （原始内容存档于2015-09-06）.