度量张量

度量张量（英语：Metric tensor）在黎曼几何里面又叫黎曼度量，物理学译为度规张量，是指一用来衡量度量空间中距离，面积及角度的二阶张量。

内容

当选定一个局部坐标系统$x^{i}$，度量张量为二阶张量一般表示为 $\textstyle \mathrm {d} s^{2}=\sum _{ij}g_{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}$，也可以用矩阵 $(g_{ij})$ 表示，记作为G或g。而 $g_{ij}$ 记号传统地表示度量张量的协变分量（亦为“矩阵元素”）。

$a$ 到 $b$ 的弧线长度定义如下，其中参数定为t，t由a到b:

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{ij}g_{ij}{\mathrm {d} x^{i} \over \mathrm {d} t}{\mathrm {d} x^{j} \over \mathrm {d} t}}}\mathrm {d} t$

两个切向量的夹角 $\theta$,设向量 $\textstyle U=\sum _{i}u^{i}{\partial \over \partial x_{i}}$ 和 $\textstyle V=\sum _{i}v^{i}{\partial \over \partial x_{i}}$，定义为：

$\cos \theta ={\frac {\langle u,v\rangle }{|u||v|}}={\frac {\sum _{ij}g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {\left|\sum _{ij}g_{ij}u^{i}u^{j}\right|\left|\sum _{ij}g_{ij}v^{i}v^{j}\right|}}}$

若 $f$ 为$\mathbb {R} ^{n}$ 到 $\mathbb {R} ^{n}$ 的局部微分同胚，其诱导出的度量张量的矩阵形式 $G$，由以下方程式计算得出：

$G=J^{T}J$

$J$ 表示 $f$ 的雅可比矩阵，它的转置为 $J^{T}$。著名例子有 $\mathbb {R} ^{2}$ 之间从极座标系 $(r,\theta )$ 到直角座标 $(x,y)$ 的座标变换，在这例子里有：

$x=r\cos \theta$

$y=r\sin \theta$

这映射的雅可比矩阵为

$J={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}.$

所以

$G=(g_{ij})=J^{\mathrm {T} }J={\begin{bmatrix}\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta &-r\sin \theta \cos \theta +r\sin \theta \cos \theta \\-r\cos \theta \sin \theta +r\cos \theta \sin \theta &r^{2}\sin ^{2}\theta +r^{2}\cos ^{2}\theta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}\$

这跟微积分里极座标的黎曼度量, $\mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}$，一致。

例子

欧几里德几何度量

二维欧几里德度量张量：

$(g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

弧线长度转为熟悉微积分方程式：

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x^{1}}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} x^{2}}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t$

在其他坐标系统的欧氏度量：

极坐标系：$(x^{1},x^{2})=(r,\theta )$

$(g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0\\0&(x^{1})^{2}\end{bmatrix}}$

圆柱坐标系：$(x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\theta ,z)$

$(g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

球坐标系：$(x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\phi ,\theta )$

$(g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&(x^{1}\sin x^{2})^{2}\end{bmatrix}}$

平坦的闵可夫斯基空间 (狭义相对论)：$(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)\,$

$(g_{\mu \nu })=(\eta _{\mu \nu })\equiv {\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$

在一些习惯中，与上面相反地，时间ct的度规分量取正号而空间 (x,y,z)的度规分量取负号，故矩阵表示为：

$(g_{\mu \nu })=(\eta _{\mu \nu })\equiv {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}$

参看

• 伪黎曼度量