支出最小化

支出最小化问题，在经济学，特别是微观经济学中是效用最大化问题的对偶问题，直观地说就是：“需要多少钱才能使我效用达到最大？” 给定效用函数，价格，和效用目标，这个问题可以分为两部分。

• 由支出函数决定消费者所需金额。
• 由Hicks需求函数决定消费者如何在极小化其支出的情况下维持其效用不变。

支出函数

假设消费者有一个定义在$L$种商品$\mathbf {x} \in \mathbb {R} _{+}^{L}$上的效用函数$u$。则该消费者的支出函数给出在给定价格为$\mathbf {p}$的情况下购买一组商品$x$，使得得到的效用$u(x)\geq u^{*}$时所需钱的数额。 形式上，支出函数可以这样定义。

$e(\mathbf {p} ,u^{*})=\min _{\mathbf {x} \in \geq (u^{*})}\mathbf {p} \cdot \mathbf {x}$

这里

$\geq (u^{*}):=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} _{+}^{L}|u(\mathbf {x} )\geq u^{*}\}$，

表示所得效用至少等于$u^{*}$的组合的集合。

希克斯需求函数

希克斯需求函数 $\mathbf {h} (\mathbf {p} ,u^{*})$定义一个得到所需效用的最便宜组合。它也可以用支出函数来定义马歇尔需求函数，

$\mathbf {h} (\mathbf {p} ,u^{*})=\mathbf {x} (\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u^{*}))$。

如果马歇尔需求对应$\mathbf {x} (\mathbf {p} ,w)$是一个总是给出唯一解的函数，则与之相对应的希克斯需求对应$\mathbf {h} (\mathbf {p} ,u^{*})$ 也可以被称为是希克斯需求函数。

相关条目

• 效用最大化问题
• 拉格朗日乘数

参考文献

• Mas-Colell, A., M. Whinston, and J. Green, 1995, Microeconomic Theory. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0195073401