最大似然估计

一种统计方法

统计学中,最大似然估计(英语:maximum likelihood estimation,简作MLE),也称极大似然估计,是用来估计一个概率模型的参数的一种方法。

预备知识

下方的讨论要求读者熟悉概率论中的基本定义,如概率分布概率密度函数随机变量数学期望等。读者还须先熟悉连续实函数的基本性质,比如使用微分来求一个函数的极值(即极大值极小值)。
同时,读者须先拥有似然函数的背景知识,以了解最大似然估计的出发点及应用目的。

最大似然估计的原理

给定一个概率分布 ,已知其概率密度函数(连续分布)或概率质量函数(离散分布)为 ,以及一个分布参数 ,我们可以从这个分布中抽出一个具有 个值的采样 ,利用 计算出其似然函数

 

 是离散分布, 即是在参数为 时观测到这一采样的概率;若其是连续分布, 则为 联合分布的概率密度函数在观测值处的取值。一旦我们获得 ,我们就能求得一个关于 的估计。最大似然估计会寻找关于 的最可能的值(即,在所有可能的 取值中,寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化)。从数学上来说,我们可以在 的所有可能取值中寻找一个值使得似然函数取到最大值。这个使可能性最大的 值即称为 最大似然估计。由定义,最大似然估计是样本的函数。

注意

  • 这里的似然函数是指 不变时,关于 的一个函数。
  • 最大似然估计不一定存在,也不一定唯一。

推导

最大似然估计可以从相对熵推导而来。相对熵衡量了使用一个给定分布 来近似另一个分布 时的信息损失,对于离散型随机变量,可以用以下公式:

 

其中, 是真实分布, 是近似分布。在最大似然估计的情景下,假设分布拥有一系列参数 ,我们希望通过样本得到参数的估计值 。我们可以利用相对熵来评判估计的好坏:

 

根据期望的定义,我们可以将上式改写为:

 

KL值越大,参数估计越坏,因此,需要通过改变估计参数 的值来获得最小的值,所对应的参数极为最佳估计参数。即:

 

假设有 个样本,根据大数定理,可以进行替换:

 

即,可以通过下式评估:

 

对于一个已知的分布,其参数 是确定的。因此, 为常数。因此,我们可以通过最小化KL值获得最佳估计参数:

 

因此,要得到最佳参数估计值,只需要最大化 ,这就是最大似然函数。对于连续型随机变量,有相同的结论。

例子

离散分布,离散有限参数空间

考虑一个抛硬币的例子。假设这个硬币正面跟反面轻重不同。我们把这个硬币抛80次(即,我们获取一个采样 并把正面的次数记下来,正面记为H,反面记为T)。并把抛出一个正面的概率记为 ,抛出一个反面的概率记为 (因此,这里的 即相当于上方的 )。假设我们抛出了49个正面,31个反面,即49次H,31次T。假设这个硬币是我们从一个装了三个硬币的盒子里头取出的。这三个硬币抛出正面的概率分别为 ,  ,  ,这些硬币没有标记,所以我们无法知道哪个是哪个。使用最大似然估计,基于二项分布中的概率质量函数公式,通过这些试验数据(即采样数据),我们可以计算出哪个硬币的可能性最大。这个似然函数取以下三个值中的一个:

 

我们可以看到当 时,似然函数取得最大值。
显然地,这硬币的公平性和那种抛出后正面的机率是2/3的硬币是最接近的。这就是 的最大似然估计。

离散分布,连续参数空间

现在假设例子1中的盒子中有无数个硬币,对于 中的任何一个 , 都有一个抛出正面概率为 的硬币对应,我们来求其似然函数的最大值:

 

其中 . 我们可以使用微分法来求极值。方程两边同时对 微分,并使其为零。

 
 
在不同比例参数值下一个二项式过程的可能性曲线t = 3, n = 10;其最大似然估计值发生在其众数并在曲线的最大值处。

其解为 ,  ,以及 .使可能性最大的解显然是 (因为  这两个解会使可能性为零)。因此我们说最大似然估计值 .

这个结果很容易一般化。只需要用一个字母 代替49用以表达伯努利试验中的被观察数据(即样本)的“成功”次数,用另一个字母 代表伯努利试验的次数即可。使用完全同样的方法即可以得到最大似然估计值:

 

对于任何成功次数为 ,试验总数为 的伯努利试验。

连续分布,连续参数空间

最常见的连续概率分布正态分布,其概率密度函数如下:

 

现在有 个正态随机变量的采样点,要求的是一个这样的正态分布,这些采样点分布到这个正态分布可能性最大(也就是概率密度积最大,每个点更靠近中心点),其 个正态随机变量的采样的对应密度函数(假设其独立并服从同一分布)为:

 

也可以写为:

 ,

这个分布有两个参数: .有人可能会担心两个参数与上方的讨论的例子不同,上方的例子都只是在一个参数上对可能性进行最大化。实际上,在两个参数上的求最大值的方法也差不多:只需要分别把可能性 在两个参数上最大化即可。当然这比一个参数麻烦一些,但是一点也不复杂。使用上方例子同样的符号,我们有 .

最大化一个似然函数同最大化它的自然对数是等价的。因为自然对数log是一个连续且在似然函数的值域严格递增的上凹函数。[注意:可能性函数(似然函数)的自然对数跟信息熵以及费雪讯息联系紧密。]求对数通常能够一定程度上简化运算,比如在这个例子中可以看到:

 

这个方程的解是 .这的确是这个函数的最大值,因为它是 里头惟一的一阶导数等于零的点并且二阶导数严格小于零。

同理,我们对 求导,并使其为零。

 

这个方程的解是 .

因此,其关于 最大似然估计为:

 .

性质

泛函不变性(Functional invariance)

如果  的一个最大似然估计,那么 的最大似然估计是 。函数g无需是一个双射[1]

渐近线行为

最大似然估计函数在采样样本总数趋于无穷的时候达到最小方差,其证明可见于克拉马-罗下限英语Cramér–Rao bound。当最大似然估计非偏时,等价的,在极限的情况下我们可以称其有最小的均方差。 对于独立的观察来说,最大似然估计函数经常趋于正态分布

偏差

最大似然估计的偏差是非常重要的。考虑这样一个例子,标有   张票放在一个盒子中。从盒子中随机抽取票。如果 是未知的话,那么 的最大似然估计值就是抽出的票上标有的 ,尽管其期望值的只有 .为了估计出最高的 值,我们能确定的只能是 值不小于抽出来的票上的值。

历史

最大似然估计最早是由罗纳德·费雪在1912年至1922年间推荐、分析并大范围推广的。[2](虽然以前高斯拉普拉斯、托瓦尔·尼古拉·蒂勒和F. Y. 埃奇沃思也使用过)。[3] 许多作者都提供了最大似然估计发展的回顾。[4]

大部分的最大似然估计理论都在贝叶斯统计中第一次得到发展,并被后来的作者简化。[2]

参见

  • 关于拉奥-布莱克韦尔定理(Rao-Blackwell theorem)的文章中讨论到如何利用Rao-Blackwellisation过程寻找最佳不偏估计(即使均方差最小)的方法。而最大似然估计通常是一个好的起点。
  • 读者可能会对最大似然估计(如果存在)总是一个关于参数的充分统计量(sufficient statistic)的函数感兴趣。

参考文献

  1. ^ 请参见George Casella与Roger L. Berger所著的Statistical Inference定理Theorem 7.2.10的证明。(中国大陆出版的大部分教材上也可以找到这个证明。)
  2. ^ 2.0 2.1 Pfanzagl (1994)
  3. ^ Edgeworth & September 1908 and Edgeworth & December 1908
  4. ^ Savage (1976), Pratt (1976), Stigler (1978, 1986, 1999, Hald (1998, 1999, and Aldrich (1997)

外部链接