机率流

在量子力学里，机率流，又称为机率通量，是描述机率密度流动的物理量。假若将机率密度想像为非均匀流体。那么，机率流就是这流体的流率（机率密度乘以速度）。

定义

在量子力学里，从机率守恒可以得到“机率连续性方程式”。设定一个量子系统的波函数为 $\Psi (x,t)$ 。定义机率流 $\mathbf {J}$ 为

$\mathbf {J} \ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\frac {\hbar }{m}}{\mbox{Im}}(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi )$ ；

其中，$\hbar$ 是约化普朗克常数，$m$ 是质量，$\Psi ^{*}$ 是 $\Psi$ 是共轭复数，${\mbox{Im}}()$ 是取括弧内项目的虚部。

连续方程式与机率保守定律

机率流满足量子力学的连续方程式：

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} =0$ ；

其中，$\rho =|\Psi |^{2}$ 是机率密度。

应用高斯公式，等价地以积分方程式表示，

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\mathrm {d} ^{3}{r}+\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {J} \cdot {\mathrm {d} \mathbf {a} }=0$ ；(1)

其中，$\mathbb {V}$ 是任意三维区域，$\mathbb {S}$ 是 $\mathbb {V}$ 的边界曲面。

这就是量子力学机率守恒定律的方程式。

方程式 (1) 左边第一个体积积分项目（不包括对于时间的偏微分），即是测量粒子位置时，粒子在 $\mathbb {V}$ 内的机率。第二个曲面积分是机率流出 $\mathbb {V}$ 的通量。总之，方程式 (1) 表明，粒子在三维区域 $\mathbb {V}$ 内的机率对于时间的微分，加上机率流出三维区域 $\mathbb {V}$ 的通量，两者的总和等于零。

连续方程式导引

测量粒子在三维区域 $\mathbb {V}$ 内的机率 $P$ 是

$P=\int _{\mathbb {V} }\rho \,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r}$ 。

机率对于时间的导数是

${\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\,\mathrm {d} ^{3}{r}=\int _{\mathbb {V} }\left({\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\Psi ^{*}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}$ ；(2)

假设 $\Psi$ 的含时薛丁格方程式为

$i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi$ ；

其中，$U(\mathbf {r} )$ 是位势。

将含时薛丁格方程式代入方程式 (2) ，可以得到

${\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}=-\int _{\mathbb {V} }{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}$ 。

应用一则向量恒等式，可以得到

${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Psi +\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -{\boldsymbol {\nabla }}\Psi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}-\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}$ 。

这方程式右手边第一个项目与第三个项目互相抵销，将抵销后的方程式代入，

${\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}=-\int _{\mathbb {V} }{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left[{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)\right]\,\mathrm {d} ^{3}{r}$ 。

将机率密度方程式与机率流定义式代入，

$\int _{\mathbb {V} }{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,\mathrm {d} ^{3}{r}=-\int _{\mathbb {V} }\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} \right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}$ 。

这相等式对于任意三维区域 $\mathbb {V}$ 都成立，所以，被积项目在任何位置都必须等于零：

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} =0$ 。

范例

平面波

设定一个粒子的波函数 $\Psi$ 为三维空间的平面波，

$\Psi (\mathbf {r} ,\,t)=Ae^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }e^{i\omega t}$ ；

其中，$A$ 是振幅常数，$\mathbf {k}$ 是波数，$\mathbf {r}$ 是位置，$\omega$ 是角频率，$t$ 是时间。

$\Psi$ 的机率流是

$\mathbf {J} ={\frac {\hbar }{2mi}}|A|^{2}\left(e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }{\boldsymbol {\nabla }}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }{\boldsymbol {\nabla }}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right)=|A|^{2}{\frac {\hbar \mathbf {k} }{m}}$ 。

这只是振幅的平方乘以粒子的速度 $\mathbf {v} ={\frac {\mathbf {p} }{m}}={\frac {\hbar \mathbf {k} }{m}}$ 。

请注意，虽然这平面波是定态，在每一个的地点，${\frac {d|\Psi |^{2}}{dt}}=0$ ，但是机率流仍旧不等于 $0$ 。因此可以推论，虽然机率密度不显性地跟时间有关，粒子仍可能移动于空间中。

盒中粒子

一维盒子位势，即一个无限深方形阱，阱内位势为 0 ，阱外位势为无限大。

思考一维盒中粒子问题，能级为 $E_{n}$ 的本征波函数 $\Psi _{n}$ 是

$\Psi _{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right),\qquad 0\leq x\leq L$ ；

其中，$L$ 是一维盒子的宽度，两扇盒壁的位置分别在 $x=0$ 与 $x=L$ 。

由于 $\Psi _{n}=\Psi _{n}^{*}$ ，其机率流为

$J_{n}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\partial \Psi _{n}}{\partial x}}-\Psi _{n}{\frac {\partial \Psi _{n}^{*}}{\partial x}}\right)=0$ 。

参阅

• 阶梯位势
• 透射系数