矩阵差分方程

矩阵差分方程是一种差分方程,其中某时刻的变量向量(或矩阵)与之前时刻的值通过矩阵相关。[1][2]方程的是变量向量任意两个指示值之间的最大时差。例如

是二阶矩阵差分方程,其中xn × 1变量向量,ABn × n矩阵。该方程齐次,因为方程末尾没有常数项向量。同一个方程也可写成

最常见的矩阵差分方程都是一阶的。

非齐次一阶情形及稳态

非齐次一阶矩阵差分方程如:

 

与一个加性常向量 b。该系统的稳态是x向量的值x*,一旦达到就不会偏离。x*可通过置xt = xt−1 = x*、解x*以得

 

其中In × n单位矩阵,假定[IA]可逆。非齐次方程可用偏离稳态的齐次方程重写:

 

一阶情形的稳定性

一阶矩阵差分方程[xtx*] = A[xt−1x*]稳定的,即当且仅当转移矩阵A的所有特征值(无论实复)绝对值都小于1时,xt才逐渐收敛到稳态x*

解一阶情形

假定方程齐次形式为yt = Ayt−1,然后可从初始条件y0开始迭代。y0y的初值,必须得知才能求解:

 

以此类推,由数学归纳法,用t表示的解为

 

此外,若A可对角化,就可用它的特征值和特征向量重写A,得到解

 

其中Pn × n矩阵,列是A的特征向量(假设特征值互异);Dn × n对角矩阵,对角元是A的特征值。这个解就是上述稳定性结果的依据:当且仅当A的特征值绝对值都小于1,At才会随时间收缩到零矩阵。

从一阶矩阵系统中提取单一标量变量的动力特性

n维系统yt = Ayt−1开始,可以提取其中一个状态变量(如y1)的动态变化。上述yt的求解方程表明,y1,t的解是根据An个特征值求得的。因此,描述y1变化的方程本身必须有涉及特征值的解。这种描述直观地产生了y1的演化方程,即

 

其中参数ai来自A特征方程式

 

因此,n维一阶线性系统中的每个标量变量都根据一元n阶差分方程演化,与矩阵差分防尘具有相同的稳定性。

高阶情形的解与稳定性

可用分块矩阵将高阶矩阵差分方程转换到一阶,可以求解时滞超过一个周期的高阶方程,并分析其稳定性。例如,假设有二阶方程

 

变量向量x尺寸为n × 1AB尺寸为n × n。则可以叠加为下列形式

 

其中In × n单位矩阵0n × n零矩阵。然后将当前变量和一度滞后变量的2n × 1叠加向量表示为zt,将2n × 2n分块矩阵表示为L,就得到了之前的解

 

与之前一样,当且仅当矩阵L 的所有特征值的绝对值都小于1时,叠加方程与原二阶方程才稳定。

非线性矩阵差分方程:黎卡提方程

LQG控制中,会出现一个当前和未来成本矩阵反向演化的非线性矩阵方程,下面用H表示。这个方程也被称为离散动力黎卡提方程,当据线性矩阵差分方程演化的变量向量受外源向量的控制,以优化二次损失函数时,就会产生这个方程。黎卡提方程形式如下:

 

其中HKA尺寸为n × nC尺寸为n × kR尺寸为k × kn是受控向量元素数,k是控制向量元素数。参数矩阵AC来自线性方程,参数矩阵KR来自二次损失函数。详见此处

一般来说,该方程无法根据t分析求解Ht,而是通过迭代黎卡提方程,求出Ht的值序列。不过,已经证明[3],若R = 0n = k + 1,则可将黎卡提方程简化为标量有理差分方程分析求解;对任意kn,若转移矩阵A可逆,则黎卡提方程就可根据矩阵特征值进行分析求解,尽管特征值可能要用数值计算才能找到。[4]

在大多数情况下,H随时间的演化是稳定的,也就是说H会收敛到特定的常矩阵H*,其他矩阵都有理时也可能是无理的。参见随机控制#离散时间系统

相关的黎卡提方程[5]

 

其中X, A, B, C, E全都是n × n方阵。这个方程可以显式求解。假设 ,在t = 0N0 = X0D0 = I显然成立。然后将其用于差分方程,得出

 

因此通过归纳法,形式 对所有t都成立。那么ND的演化可写为

 

因此可归纳

 

另见

参考文献

  1. ^ Cull, Paul; Flahive, Mary; Robson, Robbie. Difference Equations: From Rabbits to Chaos. Springer. 2005. ch. 7. ISBN 0-387-23234-6. 
  2. ^ Chiang, Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics  3rd. McGraw-Hill. 1984: 608–612. ISBN 9780070107809. 
  3. ^ Balvers, Ronald J.; Mitchell, Douglas W. Reducing the dimensionality of linear quadratic control problems (PDF). Journal of Economic Dynamics and Control. 2007, 31 (1): 141–159 [2023-10-15]. doi:10.1016/j.jedc.2005.09.013. (原始内容存档 (PDF)于2022-01-18). 
  4. ^ Vaughan, D. R. A nonrecursive algebraic solution for the discrete Riccati equation. IEEE Transactions on Automatic Control. 1970, 15 (5): 597–599. doi:10.1109/TAC.1970.1099549. 
  5. ^ Martin, C. F.; Ammar, G. The geometry of the matrix Riccati equation and associated eigenvalue method. Bittani; Laub; Willems (编). The Riccati Equation. Springer-Verlag. 1991. ISBN 978-3-642-63508-3. doi:10.1007/978-3-642-58223-3_5.