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空间填充多面体

在几何学中，空间填充多面体是指可以独立堆砌并无空隙且不重叠地填满三维空间的立体。 也就是说能将该立体、及该立体的多个全等副本透过平移、旋转和/或镜射来填充整个三维空间。 这“填充”意味著该多面体的所有实体组合在一起时构成了三维空间的划分。 事实上，任何三维空间的周期性密铺或堆砌体都可以透过平移一个基本单元多面体来生成。

空间填充多面体
部分的空间填充多面体
空间填充十三面体
空间填充十三面体 		菱形十二面体
菱形十二面体
三角化截角四面体
三角化截角四面体 		星形四角化菱形十二面体
星形四角化菱形十二面体

登不变量（英语：Dehn invariant）为零是空间填充多面体的必要但非充分条件。[1]

例子

任何平行多面体都是空间填充多面体，更具体地说是五种平行多面体的任何一种平行多面体，例如菱形十二面体都是空间填充多面体。[2]:29

立方体可以独立堆满空间，因此是一种空间填充多面体，且立方体是唯一具有这种性质的柏拉图立体。[3]:183—184虽然正四面体和正八面体也可以以交错组合的方式填满空间，但两者都无法独立填满空间，因此不能算是空间填充多面体。[4]:210[5]:232

对于唯一一种能填满空间的某种类型多面提还有一个例子，也就是异相双三角柱。异相双三角柱可以独立堆满空间，因此是一种空间填充多面体[6]，且是唯一具有这种性质的约翰逊多面体[7][8]

只有五种凸正多边形面多面体是空间填充多面体，分别为正三角柱、正六角柱、立方体、截角八面体[9][10]和异相双三角柱[11]。

菱形十二面体[9][10]、菱形六角化十二面体以及最密堆积中出现的梯形菱形十二面体[4]:203—207都是空间填充多面体。

以正镶嵌图的单位为底面的柱体，如正三角形镶嵌对应正三角形底面的三角柱、正方形镶嵌对应正方形底面的正四角柱和正六边形镶嵌对应正六边形底面的六角柱所构成的柱体也是空间填充多面体。因为若将这些柱体以对应正镶嵌图的方式排列成的单层晶格可以层层叠起来，以填满三维空间。

历史

最早讨论空间填充多面体的学者是亚里士多德。亚里士多德在其著作《论天》（英语：On the Heavens）中宣称四面体可以填满空间，但事实上并非如此。[1]

在1974年至1980年间，迈克尔·戈德堡（Michael Goldberg）试图对空间填充多面体进行详尽的编目。根据戈德堡的说法，有27个不同的充填空间六面体，当中包括了除了五角锥外的所有7种六面体。在34种拓朴结构有明显差异的凸七面体中[12]，有16种是空间填充多面体，其可以56种不同的方式填充空间。而八面体至少可以49种不同的方式填充空间。在1980年之前的论文中，空间填充多面体有40个是十一面体、16个是十二面体、4个是十三面体、8个是十四面体、没有十五面体、一个十六面体（最初由福普尔（Föppl）发现[13][5]:234）、2个十七面体、1个十八面体、6个二十面体、2个二十一面体、5个二十二面体、2个二十三面体、1个二十四面体以及一个被认为是最多面的空间填充多面体二十六面体。[1]随后在1980年，P·恩格尔（P. Engel）又发现了17到38个面的另外172个空间填充多面体，之后也持续发现更多空间填充多面体。[5]:234—235大约在1990年，P·施密特（P. Schmitt）发现了一种非凸的非周期空间填充多面体。[1]1993年，约翰·何顿·康威发现了一种仅以非周期的方式填充空间的空间填充凸多面体，称为施密特—康威—丹泽尔双柱体（Schmitt–Conway–Danzer biprism）。[14]

参见

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Weisstein, Eric W. Space-Filling Polyhedron. mathworld.wolfram.com. [2023-12-01]. （原始内容存档于2024-01-07） （英语）. 
  2. ^ Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes 3rd. New York: Dover. 1973 [1948]. 
  3. ^ Gardner, M. Martin Gardner's Sixth Book of Mathematical Diversions from Scientific American. Scientific American. University of Chicago Press. 1983. ISBN 9780226282503. LCCN lc83012332. 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 Steinhaus, H. Mathematical Snapshots. Dover Recreational Math Series. Dover Publications. 1999. ISBN 9780486409146. LCCN 99033052. 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 5.3 Wells, D.G. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Penguin book. Penguin Books. 1991. ISBN 9780140118131. LCCN 92131759. 
  6. ^ Subramanian, Sai Ganesh and Eng, Mathew and Krishnamurthy, Vinayak and Akleman, Ergun, Delaunay Lofts: A New Class of Space-filling Shapes, ACM SIGGRAPH 2019 Posters, SIGGRAPH '19 (Los Angeles, California: ACM), 2019: 81:1––81:2, ISBN 978-1-4503-6314-3, doi:10.1145/3306214.3338576 
  7. ^ Alam, S. M. Nazrul; Haas, Zygmunt J., Coverage and Connectivity in Three-dimensional Networks, Proceedings of the 12th Annual International Conference on Mobile Computing and Networking (MobiCom '06), New York, NY, USA: ACM: 346–357, 2006, ISBN 1-59593-286-0, arXiv:cs/0609069  , doi:10.1145/1161089.1161128 .
  8. ^ Kepler, Johannes, The Six-Cornered Snowflake, Paul Dry Books, Footnote 18, p. 146, 2010, ISBN 9781589882850 .
  9. ^ 9.0 9.1 Steinhaus 1999[4], pp. 185—190
  10. ^ 10.0 10.1 Wells 1991[5], pp. 233—234
  11. ^ Johnson, N. W. Uniform Polytopes. Cambridge, England: Cambridge University Press. 2000. 
  12. ^ Counting polyhedra. numericana.com. [2016-01-10]. （原始内容存档于2016-05-06）. 
  13. ^ Grünbaum, B; Shephard, G. C. Tilings with Congruent Tiles. Bull. Amer. Math. Soc. 1980, 3 (3): 951–973 [2023-01-24]. doi:10.1090/s0273-0979-1980-14827-2  . （原始内容存档于2016-03-03）. 
  14. ^ Senechal, Marjorie, 7.2 The SCD (Schmitt–Conway–Danzer) tile, Quasicrystals and Geometry, Cambridge University Press: 209–213, 1996, ISBN 9780521575416 .

外部链接

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