节点分析

在电路分析里，节点分析（nodal analysis）是一种用电路的节点电压来分析电路的一种方法。

基尔霍夫电流定律是节点分析的基础理论，应用于本图案例，$i_{1}+i_{4}=i_{2}+i_{3}$ 。

节点分析与网目分析是分析电路所使用的两种主要方法。基尔霍夫电流定律与基尔霍夫电压定律分别是节点分析与网目分析的基础理论。根据基尔霍夫电流定律，节点分析会对于每一节点给出一个方程式，要求所有进入某节点的支路电流的总和等于所有离开这节点的支路电流的总和，而支路电流则表示为节点电压的线性函数。注意到每一条支路的本构关系（constitutive relation）必须给出支路电流与节点电压之间的线性函数关系，称为“导纳表现”。假设每一条支路的本构关系都有导纳表现，则可以做节点分析。例如，对于电阻为 $R$ 、电导为 $G=1/R$ 的电阻器， 这关系以方程式表达为 $I_{branch}=(V_{node1}-V_{node2})*G$ ；其中，$I_{branch}$ 是支路电流，$V_{node1}$ 、$V_{node2}$ 分别为电阻器两端节点的电压。

对于任意电路，节点分析会给出一组简洁的方程式，假若不庞大，可以手工解析，或著可以应用线性代数理论，然后使用电脑计算结果。由于节点分析给出的联立方程式相当简洁，很多电路模拟程式（例如，积体电路模拟程式）以节点分析为基础。假若某支路的本构关系不具有导纳表现，则可以将节点分析延伸，使用修正节点分析（modified nodal analysis）。

对于简单的线性元件案例，使用节点分析方法解析相当容易。对于比较复杂的非线性电路，也可以使用节点分析，只要应用牛顿法，将非线性问题改变为一个序列的线性问题。

分析步骤

1. 标出电路里所有相连接的导线，设定每一群相连接的导线为单独节点。在相邻的两个结点之间，必定有一个元件。
2. 选择一个节点为参考点。设定这参考点为接地点，电位为零，以接地线或底架标示于电路图。这选择不会影响结果，但可以简化运算。通常，选择连接最多支路的节点可以使解析更加简易。
3. 对于每一个未知电压节点，按照基尔霍夫电流定律，写出一个方程式，要求所有流入这节点的支路电流的总和等于所有流出这节点的支路电流的总和。特别注意，节点的电压指的是节点与参考点之间的电压差。
4. 假若有电压源处于两个未知电压节点之间，则可合并这两个节点为单独一个“超节点”（supernode），将进入与离开这两个节点的电流一同按照基尔霍夫电流定律处理。另外，再添加一个电压方程式，写出这两个节点的电压关系。
5. 解析这一组联立方程式，寻求每一个未知电压。

简单实例

基本案例

基本电路案例，只有一个未知电压 $V_{1}$ 。

如右图基本电路案例所示，$V_{1}$ 是唯一的未知电压节点。连接于这节点有三个支路，因此必须计算三个支路电流。假定这些电流的方向都是朝著离开节点的方向。

1. 通过电阻器 $R_{1}$ 的支路电流： $I_{1}=(V_{1}-V_{S})/R_{1}$ 。
2. 通过电阻器 $R_{2}$ 的支路电流： $I_{2}=V_{1}/R_{2}$ 。
3. 通过电流源 $I_{S}$ 的支路电流： $I_{3}=-I_{S}$ 。

应用克希荷夫电流定律，

$I_{1}+I_{2}+I_{3}={\frac {V_{1}-V_{S}}{R_{1}}}+{\frac {V_{1}}{R_{2}}}-I_{S}=0$ 。

稍加运算，可以得到

$V_{1}=\left({\frac {V_{S}}{R_{1}}}+I_{S}\right)\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)^{-1}$ 。

将所有变量的数值代入，可以得到答案

$V_{1}=\left({\frac {5{\text{ V}}}{100\,\Omega }}+20{\text{ mA}}\right)\left({\frac {1}{100\,\Omega }}+{\frac {1}{200\,\Omega }}\right)^{-1}\approx 4.667{\text{ V}}$ 。

超节点案例

电压源 $V_{A}$ 处于两个未知电压节点 $V_{1}$ 、$V_{2}$ 之间，因而共同形成超节点。

如右边电路图所示，$V_{1}$ 、$V_{2}$ 是两个未知电压。由于电压源 $V_{B}$ 有一端连接于接地点，电压 $V_{3}$ 等于 $V_{B}$ 。

注意到通过电压源 $V_{A}$ 的电流无法直接计算出来。因此，不能写出 $V_{1}$ 或 $V_{2}$ 节点的电流方程式。但是，离开 $V_{2}$ 节点并且通过电压源 $V_{A}$ 的电流必须进入 $V_{1}$ 节点。虽然这两个节点不能单独解析，假若将两个节点合并起来成为超节点，就可以应用基尔霍夫电流定律，设定进入和离开的电流的代数和等于零：

${\frac {V_{1}-V_{\text{B}}}{R_{1}}}+{\frac {V_{2}-V_{\text{B}}}{R_{2}}}+{\frac {V_{2}}{R_{3}}}=0$ 。

再添加一个 $V_{1}$ 与 $V_{2}$ 之间的关系式：

$V_{1}=V_{2}+V_{A}$ 。

经过一番运算，可以得到

$V_{2}={\frac {(R_{1}+R_{2})R_{3}V_{\text{B}}-R_{2}R_{3}V_{\text{A}}}{(R_{1}+R_{2})R_{3}+R_{1}R_{2}}}$。

参考文献

• Paul Dimo, Nodal Analysis of Power Systems, Abacus Press, 1975