维维亚尼定理

维维亚尼(Viviani)定理说明：在等边三角形内任意一点P跟三边的垂直距离之和，等于三角形的高。

这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置无关。

它以温琴佐·维维亚尼命名。

证明

设$\triangle ABC$为等边三角形，$P$为其内部一点。设$s$为其边长，$h$为高，$l,\;m,\;n$为$P$到各边的距离。那么：

$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}+S_{\triangle BCP},$

${\frac {sh}{2}}={\frac {sl}{2}}+{\frac {sm}{2}}+{\frac {sn}{2}},$

$h=l+m+n.$

Q.E.D.

参考

• http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Viviani.shtml （页面存档备份，存于互联网档案馆）