谱半径

数学上，矩阵或有界线性算子的谱半径（spectral radius）是其特征值绝对值中的最大值（也就是矩阵的谱中元素绝对值中的最小上界），会表示为ρ(·)。

矩阵

令λ₁, ..., λ_n是矩阵A ∈ C^n×n中的特征值，则其谱半径 ρ(A) is 定义为：

$\rho (A)=\max \left\{|\lambda _{1}|,\dotsc ,|\lambda _{n}|\right\}.$

$A$的条件数可以用谱半径表示，公式为$\rho (A)\rho (A^{-1})$。

谱半径是矩阵所有范数的一种下确界（infimum）。另一方面，$\rho (A)\leqslant \|A\|$对每一个矩阵范数 $\|\cdot \|$都成立，Gelfand公式指出$\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}$。不过，针对任意向量$\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$，谱半径不一定会满足$\|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|$。若要说明原因，可以令$r>1$为任意数，考虑矩阵$C_{r}={\begin{pmatrix}0&r^{-1}\\r&0\end{pmatrix}}$。$C_{r}$的特征多项式是$\lambda ^{2}-1$，因此其特征值为$\pm 1$，且$\rho (C_{r})=1$。不过$C_{r}\mathbf {e} _{1}=r\mathbf {e} _{2}$，因此$\|C_{r}\mathbf {e} _{1}\|=r>1=\rho (C_{r})\|\mathbf {e} _{1}\|$，其中$\|\cdot \|$是$\mathbb {C} ^{n}$上的任何$\ell ^{p}$范数。至于可以当$k\to \infty$时，让$\|C_{r}^{k}\|^{1/k}\to 1$的原因是$C_{r}^{2}=I$，因此当$k\to \infty$时，使$\|C_{r}^{k}\|^{1/k}\leqslant \|C_{r}\|^{1/k}=r^{1/k}\to 1$。

$\|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|$针对所有$\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$

成立的条件是$A$为埃尔米特矩阵及$\|\cdot \|$为欧几里得范数。

图

有限图的谱半径定义为其邻接矩阵的谱半径。

此一定义可以扩散到无限图，但是其每个顶点都只连接有限个顶点（存在一实数C使得每一个顶点的度都小于C）。此情形下，针对图G可定义：

$\ell ^{2}(G)=\left\{f:V(G)\to \mathbf {R} \ :\ \sum \nolimits _{v\in V(G)}\left\|f(v)^{2}\right\|<\infty \right\}.$

令γ是 G的邻接算子：

${\begin{cases}\gamma :\ell ^{2}(G)\to \ell ^{2}(G)\\(\gamma f)(v)=\sum _{(u,v)\in E(G)}f(u)\end{cases}}$

G的谱半径定义为有界线性算子γ的谱半径。

上界

矩阵谱半径的上界

以下的命题指出了一个简单但是有用的矩阵谱半径上界：

命题：令A ∈ C^n×n，其谱半径为ρ(A)，以及相容（Consistent）矩阵范数 ||⋅||。则针对每一个整数$k\geqslant 1$:

$\rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.$

证明

令(v, λ)为矩阵A的特征值-特征向量对。利用矩阵范数的次可乘性（sub-multiplicative property），可得：

$|\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \|\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|$

因为v ≠ 0，可得

$|\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|$

因此

$\rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.$

图谱半径的上界

有关n个顶点，m个边的图，有许多的谱半径的上界公式。例如，若

${\frac {(k-2)(k-3)}{2}}\leq m-n\leq {\frac {k(k-3)}{2}}$

其中$3\leq k\leq n$为整数，则 ：

$\rho (G)\leq {\sqrt {2m-n-k+{\frac {5}{2}}+{\sqrt {2m-2n+{\frac {9}{4}}}}}}$

乘幂数列

定理

谱半径和矩阵乘幂数列是否收敛有紧密的关系。以下的定理会成立：

定理：令A ∈ C^n×n，其谱半径ρ(A)。则ρ(A) < 1若且唯若

$\lim _{k\to \infty }A^{k}=0.$

另一方面，若ρ(A) > 1, $\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty$。上述叙述针对C^n×n上的任何矩阵范数都有效。

定理证明

假设问题中的极限值为零，可以证明ρ(A) < 1。令(v, λ)为A的特征值和特征向量对。因为A^kv = λ^kv可得：

${\begin{aligned}0&=\left(\lim _{k\to \infty }A^{k}\right)\mathbf {v} \\&=\lim _{k\to \infty }\left(A^{k}\mathbf {v} \right)\\&=\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\mathbf {v} \\&=\mathbf {v} \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\end{aligned}}$

因为假设v ≠ 0，会得到

$\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}=0$

表示|λ| < 1。因为这对任何一个特征值都会成立，因此可知ρ(A) < 1。

接下来假设A的谱半径小于1。根据若尔当标准型定理，可以知道针对所有的A ∈ C^n×n，存在V, J ∈ C^n×n以及非奇异的V和J分块对角矩阵使得：

$A=VJV^{-1}$

而

$J={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}$

其中

$J_{m_{i}}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda _{i}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}&1\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}\end{bmatrix}}\in \mathbf {C} ^{m_{i}\times m_{i}},1\leq i\leq s.$

因此可得

$A^{k}=VJ^{k}V^{-1}$

因为J是分块对角矩阵

$J^{k}={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}^{k}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}^{k}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}^{k}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}^{k}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}$

而$m_{i}\times m_{i}$若尔当方块矩阵k次方可以得到，针对$k\geq m_{i}-1$：

$J_{m_{i}}^{k}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&{k \choose 2}\lambda _{i}^{k-2}&\cdots &{k \choose m_{i}-1}\lambda _{i}^{k-m_{i}+1}\\0&\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&\cdots &{k \choose m_{i}-2}\lambda _{i}^{k-m_{i}+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}^{k}\end{bmatrix}}$

因此，若$\rho (A)<1$，则针对所有的i，$|\lambda _{i}|<1$都会成立。因此针对所有的i，可得：

$\lim _{k\to \infty }J_{m_{i}}^{k}=0$

这也表示

$\lim _{k\to \infty }J^{k}=0.$

因此

$\lim _{k\to \infty }A^{k}=\lim _{k\to \infty }VJ^{k}V^{-1}=V\left(\lim _{k\to \infty }J^{k}\right)V^{-1}=0$

另一方面，若$\rho (A)>1$，当k增加时，在J中至少有一个元素无法维持有界，因此证明了定理的第二部份。

Gelfand公式

定理

以下的定理可以用[矩阵范数的极限来计算T谱半径

定理（Gelfand公式，1941年）：令任何矩阵范数 ||⋅||,，可得

$\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}.$.

证明

令任意ε > 0，先建构以下二个矩阵：

$A_{\pm }={\frac {1}{\rho (A)\pm \varepsilon }}A.$

则:

$\rho \left(A_{\pm }\right)={\frac {\rho (A)}{\rho (A)\pm \varepsilon }},\qquad \rho (A_{+})<1<\rho (A_{-}).$

先将之前的定理应用到A₊:

$\lim _{k\to \infty }A_{+}^{k}=0.$

这表示，根据级数极限定理，一定存在N₊ ∈ N使得针对所有的k ≥ N₊，下式都成立

${\begin{aligned}\left\|A_{+}^{k}\right\|<1\end{aligned}}$

因此

${\begin{aligned}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon .\end{aligned}}$

将之前的定理用在A₋，表示$\|A_{-}^{k}\|$无界，一定存在N₋ ∈ N使得针对所有的k ≥ N₋，下式都成立

${\begin{aligned}\left\|A_{-}^{k}\right\|>1\end{aligned}}$

因此

${\begin{aligned}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}>\rho (A)-\varepsilon .\end{aligned}}$

令N = max{N₊, N₋},，可得：

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbf {N} \quad \forall k\geq N\quad \rho (A)-\varepsilon <\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon$

因此，依定义，可得下式

$\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}=\rho (A).$

举例

考虑以下矩阵

$A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix}}$

其中的特征值为5, 10, 10。依照定义，ρ(A) = 10。在以下的表中，会以四个最常用的矩阵范式，在k增加时，计算$\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}$（注意，因为此矩阵特殊的形式，$\|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }$）:

k	$\|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }$	$\|.\|_{F}$	$\|.\|_{2}$
1	14	15.362291496	10.681145748
2	12.649110641	12.328294348	10.595665162
3	11.934831919	11.532450664	10.500980846
4	11.501633169	11.151002986	10.418165779
5	11.216043151	10.921242235	10.351918183
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
10	10.604944422	10.455910430	10.183690042
11	10.548677680	10.413702213	10.166990229
12	10.501921835	10.378620930	10.153031596
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
20	10.298254399	10.225504447	10.091577411
30	10.197860892	10.149776921	10.060958900
40	10.148031640	10.112123681	10.045684426
50	10.118251035	10.089598820	10.036530875
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
100	10.058951752	10.044699508	10.018248786
200	10.029432562	10.022324834	10.009120234
300	10.019612095	10.014877690	10.006079232
400	10.014705469	10.011156194	10.004559078
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
1000	10.005879594	10.004460985	10.001823382
2000	10.002939365	10.002230244	10.000911649
3000	10.001959481	10.001486774	10.000607757
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
10000	10.000587804	10.000446009	10.000182323
20000	10.000293898	10.000223002	10.000091161
30000	10.000195931	10.000148667	10.000060774
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
100000	10.000058779	10.000044600	10.000018232

有界线性算子

针对有界线性算子 A 及算子范数 ||·||，可以得到

$\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.$

（复数希尔伯特空间上的）有界算子若其谱半径等于数值半径，可以称为“谱算子”（spectraloid operator）。其中一个例子是正规算子。

相关条目

• 联合谱半径
• 谱隙
• 矩阵的谱

参考资料

• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob, Linear operators II. Spectral Theory: Self Adjoint Operators in Hilbert Space, Interscience Publishers, Inc., 1963 
• Lax, Peter D., Functional Analysis, Wiley-Interscience, 2002, ISBN 0-471-55604-1