逐点收敛

逐点收敛也称点态收敛（英语：pointwise convergence，或称简单收敛），是数学中描述一组函数序列向一个函数趋近的一种方式（函数趋近极限有其他不同方式，个中差异请小心分辨）。详细点讲，如果这组函数列在定义域中每点的取值都会趋于一个极限值，这时可以用每点的极限来定义这组函数序列的极限函数，被趋近的这个极限函数称作这个函数序列的逐点极限。在各种收敛中，逐点收敛较容易了解跟想象，但未必能很好地保持函数的一些重要性质，比如说连续性等等。

定义

设 $\{f_{n}\}$ 是一组有相同定义域的函数序列。序列 $\{f_{n}\}$ 逐点收敛当且仅当存在函数 $f$，使得在定义域中的每点 $x$，都有：

$\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x)$

这时我们就说序列 $\{f_{n}\}$ 逐点收敛到 $f$，或说函数 $f$ 是序列 $f_{n}$ 的逐点极限函数。在英文中也写作：

$\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}=f\ {\mbox{ pointwise}},$

性质

与逐点收敛经常一起出现的一个概念是一致收敛（英语：uniform convergence）。一致收敛的定义如下： 假设序列 $(f_{n})$ 中的函数跟函数 $f$ 都有相同的定义域 $I$。定义函数序列 $(f_{n})$ 一致收敛到 $f$，若数列 $a_{n}=\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in I\,\}$ 趋近于零，用符号表示就是：$\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$，换句话讲也就是：

$\lim _{n\rightarrow \infty }\,\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in I\;\}=0$

两相比较，一致收敛对于函数趋近的方式限制更大，所以一致收敛的函数序列必然逐点收敛，反之则不然。一个简单的例子是函数序列 $f_{n}:[0,1]\rightarrow [0,1]$，让 $f_{n}(x)=x^{n}$，则 $(f_{n})$ 逐点收敛到（不连续）函数

$f(x)={\begin{cases}0&x\in [0,1)\\1&x=1\end{cases}}$,

但并不一致收敛到该函数，因为对每个 $n$，$\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in [0,1]\,\}$ 皆为 1，所以

$\lim _{n\rightarrow \infty }\,\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in [0,1]\,\}=1\neq 0$。

这说明了序列 $(f_{n})$ 并不一致收敛。 一致收敛能够保持函数序列的连续性，但逐点收敛不能。如上例， 序列 $(f_{n}(x)=x^{n})$ 都在闭区间 $[0,1]$ 上连续，但是 $(f_{n})$ 逐点收敛到的函数 $f$ 并不是连续函数。

逐点收敛不要求序列 $(f_{n})$ 中函数的取值一定是实数，也可以是任何使其定义有意义的拓扑空间。但一致收敛函数的适用范围则相对较小，比如如果函数序列 $(f_{n})$ 的对应域仅是拓朴空间，那可能一致收敛的定义并无意义，所以一致收敛的对应域一般在度量空间。因为一致收敛定义中表达趋近的部分我们（部分的）利用了距离的概念（绝对值就是距离的概念），在这定义中无法被其他概念取代，相对来说逐点收敛中表达趋近的部分虽然也用了距离概念，但可以用拓朴空间中的开集合来取代，。

拓扑性质

逐点收敛也可以理解为由半范数$||f||_{x}=|f(x)|\,$建立的拓扑。具有这种拓扑的函数组成的空间叫做逐点收敛空间。这个拓扑与乘积拓扑是等价的。如果$f$的定义域和值域都是紧致的，根据吉洪诺夫定理，这个空间也是紧致的。

测度论

在测度理论中，对一个可测空间上的可测函数有几乎处处收敛的概念，也就是说几乎处处逐点收敛。叶戈罗夫定理说明，在有限测度的集合上几乎处处逐点收敛，意味着在稍微较小的集合上一致收敛。

参见

• 一致收敛
• 拓扑空间