交换代数中,一个交换环 被称作链环,若且唯若对任何一对素理想

任何严格递增的素理想链

皆包含于一个从 的有限长极大链,而且此极大链的长度仅依赖于 。因此我们有一个从素理想对 的映射。在代数几何上,此条件能理解为维度可明确定义。

一个环被称为泛链环,若且唯若其上的任何有限生成代数都是链环。

例子

几乎所有代数几何中出现的诺特环都是泛链环,包括以下例子:

  • 完备诺特局部环
  • 戴德金环
  • Cohen-Macaulay 环
  • 泛链环的局部化仍为泛链环

非泛链环甚难构造。第一个例子由永田雅宜于1956年造出,这是个诺特局部整环,它是链环而非泛链环(见参考文献 Local Rings 第 203 页例 2)。

文献

  • H. Matsumura, Commutative algebra ISBN 0-8053-7026-9.
  • Nagata, Masayoshi Local rings. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 13 Interscience Publishers a division of John Wiley & Sons,New York-London 1962, reprinted by R. E. Krieger Pub. Co (1975) ISBN 0882752286