展示在不同的p -范数下的单位圆 。
泛函分析中，常常会在某类函数的集合上架设拓扑结构 乃至更复杂的结构，以便使用拓扑乃至分析学的知识来讨论这些集合的属性。最常见的附加结构是赋范向量空间 。将函数集合作为装备了范数 向量空间 来看待，有助于理解函数类的关系和性质。范数是欧几里德空间 中长度概念的推广。在平面几何或立体几何中，长度以及距离是最基本的概念之一。对象的形状、位置、大小等性质或关系都是建立在长度和距离的定义上。最直观的长度概念是由平直物理空间中抽象而来，满足勾股定理 。例如说在平面上，原点到点
P
=
(
x
,
y
)
{\displaystyle P=(x,y)}
x
2
+
y
2
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
P
=
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle P=(x,y,z)}
x
2
+
y
2
+
z
2
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}
l
{\displaystyle l}
只有零向量的长度是零：
l
(
v
)
=
0
⟺
v
=
0
,
{\displaystyle l(v)=0\iff v=0,}
数乘线性：
∀
λ
∈
R
,
l
(
λ
v
)
=
|
λ
|
l
(
v
)
,
{\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {R} ,\;\;l(\lambda v)=\left\vert \lambda \right\vert l(v),}
满足三角不等式：
l
(
u
)
+
l
(
v
)
⩾
l
(
u
+
v
)
.
{\displaystyle l(u)+l(v)\geqslant l(u+v).}
比如说在更一般的n
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
v
=
(
x
1
,
x
2
,
⋯
x
n
)
{\displaystyle v=(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})}
l
(
v
)
=
(
x
1
2
+
x
2
2
+
⋯
+
x
n
2
)
1
2
{\displaystyle l(v)=(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})^{\frac {1}{2}}}
这个函数也满足以上的基本性质。更一般地，在向量空间
V
{\displaystyle V}
N
:
V
→
R
+
{\displaystyle {\mathcal {N}}:\;V\rightarrow \mathbb {R} _{+}}
V
{\displaystyle V}
范数
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
p
N
p
(
x
)
=
‖
x
‖
p
=
(
|
x
1
|
p
+
|
x
2
|
p
+
⋯
+
|
x
n
|
p
)
1
p
{\displaystyle \ {\mathcal {N}}_{p}(x)=\|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}
这个范数称为
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
p -p p 曼哈顿距离 。当p p -一致范数 （也记作L ∞ -
N
∞
(
x
)
=
‖
x
‖
∞
=
max
(
|
x
1
|
,
|
x
2
|
⋯
,
|
x
n
|
)
.
{\displaystyle \ {\mathcal {N}}_{\infty }(x)=\|x\|_{\infty }=\max(|x_{1}|,|x_{2}|\cdots ,|x_{n}|).}
对不同的p 单位圆 （从原点出发，“长度”等于1的点的集合）形状。
p -范数有限维空间中的p -
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
p -
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p}}
ℓ
1
{\displaystyle \ell ^{1}}
绝对收敛 级数 列构成的空间；
ℓ
2
{\displaystyle \ell ^{2}}
级数 列构成的空间；
ℓ
∞
{\displaystyle \ell ^{\infty }}
有界 数列构成的空间。事实上，序列集合上可以自然地按照序列的加法和数乘定义出向量空间。而
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p}}
p -
‖
(
x
n
)
n
∈
N
‖
p
=
(
|
x
1
|
p
+
|
x
2
|
p
+
⋯
+
|
x
n
|
p
+
|
x
n
+
1
|
p
+
⋯
)
1
p
=
(
∑
n
∈
N
|
x
n
|
p
)
1
p
.
{\displaystyle \|(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}+|x_{n+1}|^{p}+\dotsb \right)^{\frac {1}{p}}=\left(\sum _{n\in \mathbb {N} }|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.}
然而，上式中右侧的级数不总是收敛的（有可能其级数和是无穷大）。所以
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p}}
可以证明，随着p
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p}}
p < q
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p}}
ℓ
q
{\displaystyle \ell ^{q}}
a
=
(
1
n
)
n
∈
N
∗
=
(
1
,
1
2
,
1
3
,
⋯
,
1
n
,
⋯
)
{\displaystyle a=({\frac {1}{n}})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\cdots ,{\frac {1}{n}},\cdots \right)}
不属
ℓ
1
{\displaystyle \ell ^{1}}
1
+
1
2
+
1
3
+
⋯
+
1
n
+
⋯
{\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}+\cdots }
1
+
1
2
2
+
1
3
2
+
⋯
+
1
n
2
+
⋯
{\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}+\cdots }
的和是有限的，所以数列
a
{\displaystyle a}
ℓ
2
{\displaystyle \ell ^{2}}
L p 空间
当空间维度是无穷而且不可数的时候（没有一个可数的基底），无法运用有限维或可数维度空间的办法来定义范数，但对于可积函数空间，仍然能够定义类似的概念。具体来说，给定测度空间 (S , Σ , μ )以及大于等于1的实数p S 域
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
K
=
C
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
可测函数 。考虑所有绝对值的p S
L
p
(
S
,
μ
)
=
{
f
;
‖
f
‖
p
=
(
∫
S
|
f
|
p
d
μ
)
1
p
<
∞
}
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )=\left\{f;\;\|f\|_{p}=\left({\int _{S}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu }\right)^{\frac {1}{p}}<\infty \right\}}
集合中的函数可以进行加法和数乘：
(
f
+
g
)
(
x
)
=
f
(
x
)
+
g
(
x
)
,
(
λ
f
)
(
x
)
=
λ
f
(
x
)
,
λ
∈
K
{\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda f(x),\;\;\lambda \in \mathbb {K} }
从闵可夫斯基不等式 可知，两个p p
‖
λ
f
‖
p
=
|
λ
|
‖
f
‖
p
{\displaystyle \|\lambda f\|_{p}=|\lambda |\|f\|_{p}}
闵可夫斯基不等式 的积分形式说明三角不等式对
‖
⋅
‖
p
{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
‖
⋅
‖
p
{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
半范数 ，令
L
p
(
S
,
μ
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )}
‖
f
‖
p
=
0
{\displaystyle \|f\|_{p}=0}
f
{\displaystyle f}
L
p
(
S
,
μ
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )}
‖
f
‖
p
=
0
{\displaystyle \|f\|_{p}=0}
f
{\displaystyle f}
N
=
{
f
;
‖
f
‖
p
=
0
}
.
{\displaystyle N=\left\{f;\;\|f\|_{p}=0\right\}.}
集合
N
{\displaystyle N}
映射
f
↦
‖
f
‖
p
{\displaystyle f\mapsto \|f\|_{p}}
零空间 。对可测函数
f
{\displaystyle f}
‖
f
‖
p
=
0
⟺
μ
(
f
≠
0
)
=
0
⟺
f
{\displaystyle \|f\|_{p}=0\iff \mu (f\neq 0)=0\iff f}
μ 意义下）。所以
N
≡
k
e
r
(
‖
⋅
‖
p
)
=
{
f
:
f
μ
−
{\displaystyle N\equiv \mathrm {ker} (\|\cdot \|_{p})=\{f:f\;\;\mu -}
}
.
{\displaystyle \}.}
而
N
{\displaystyle N}
L
p
(
S
,
μ
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )}
L
p
(
S
,
μ
)
{\displaystyle L^{p}(S,\mu )}
L
p
(
S
,
μ
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )}
N
{\displaystyle N}
商空间 。
L
p
(
S
,
μ
)
{\displaystyle L^{p}(S,\mu )}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
N
{\displaystyle N}
L
p
(
S
,
μ
)
{\displaystyle L^{p}(S,\mu )}
S 测度 μ 的L p 空间。
‖
⋅
‖
p
{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
L
p
(
S
,
μ
)
{\displaystyle L^{p}(S,\mu )}
p
需要注意的是，L p 空间中的元素严格来说并不是具体的函数，而是一族函数构成的等价类。而当需要将L p 空间元素当作函数来计算的时候，参与计算的实际是从这一族函数中抽取的一个代表函数。
与序列空间一样，在函数空间上也可以定义一致范数。定义的方法和范数一样，首先定义：
‖
f
‖
∞
≡
inf
{
C
≥
0
:
|
f
(
x
)
|
μ
−
{\displaystyle \|f\|_{\infty }\equiv \inf\{C\geq 0:|f(x)|\;\;\mu -}
C
}
.
{\displaystyle C\}.}
L
∞
(
S
,
μ
)
=
{
f
;
‖
f
‖
∞
<
∞
}
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )=\left\{f;\;\|f\|_{\infty }<\infty \right\}}
‖
⋅
‖
∞
{\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}
N
≡
k
e
r
(
‖
⋅
‖
∞
)
=
{
f
:
f
μ
−
{\displaystyle N\equiv \mathrm {ker} (\|\cdot \|_{\infty })=\{f:f\mu -}
}
.
{\displaystyle \}.}
L
∞
(
S
,
μ
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )}
N
{\displaystyle N}
商空间 是一个赋范向量空间，记作
L
∞
(
S
,
μ
)
{\displaystyle L^{\infty }(S,\mu )}
一致范数与p
‖
f
‖
∞
=
lim
p
→
∞
‖
f
‖
p
{\displaystyle \|f\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}}
可以证明，L p 空间是完备的空间 ，也即是说是一个巴拿赫空间 （完备赋范向量空间）。L p 空间的完备性通常被称为里兹－费舍尔定理 。具体的证明可以借助测度上的勒贝格积分 的相关收敛定理来完成。
L p 空间都是巴拿赫空间，但只有当p = 2的时候，L 2 空间是希尔伯特空间 。也就是说，可以为L 2 空间中的元素定义内积 。具体形式是：
⟨
f
,
g
⟩
=
∫
S
f
(
x
)
g
(
x
)
¯
d
μ
(
x
)
.
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{S}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} \mu (x).}
其中的
g
(
x
)
¯
{\displaystyle {\overline {g(x)}}}
共轭 。这个内积是从2-范数自然诱导的内积。L 2 空间在傅立叶级数 和量子力学 以及其他领域有着重要的运用。
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p}}
L p 空间的特例。只要取L p 空间中的
S
=
N
{\displaystyle S=\mathbb {N} }
n
{\displaystyle \mathbb {n} }
计数测度 ，则对应的
L
p
(
S
,
μ
)
{\displaystyle L^{p}(S,\mu )}
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p}}
L p
一个拓扑向量空间的对偶空间 是指由这个向量空间上的所有的连续线性泛函 构成的泛函空间 。对某个大于1的实数p q
1
p
+
1
q
=
1
{\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}
Lp (S , μ )Lp (S , μ )* Lq (S , μ )同构 。这个关系可以通过一个自然的同构映射展现：
κ
p
:
L
q
(
S
,
μ
)
⟶
L
p
(
S
,
μ
)
∗
{\displaystyle \kappa _{p}:\;\;L^{q}(S,\mu )\longrightarrow L^{p}(S,\mu )^{*}}
f
⟼
κ
p
(
f
)
:=
(
g
∈
L
p
(
S
,
μ
)
↦
∫
S
f
g
d
μ
)
.
{\displaystyle f\qquad \longmapsto \kappa _{p}(f):=\left(g\in L^{p}(S,\mu )\;\mapsto \;\int _{S}fg\;d\mu \right).}
赫尔德不等式 保证了其中的泛函
κ
p
(
f
)
{\displaystyle \kappa _{p}(f)}
κ
p
{\displaystyle \kappa _{p}}
κ
p
(
f
)
{\displaystyle \kappa _{p}(f)}
f
{\displaystyle f}
κ
p
{\displaystyle \kappa _{p}}
等距映射 。此外还可以证明，对偶空间Lp (S , μ )* G
κ
p
(
g
)
{\displaystyle \kappa _{p}(g)}
κ
p
{\displaystyle \kappa _{p}}
满射 。结合以上性质可以推出，
κ
p
{\displaystyle \kappa _{p}}
Lp (S , μ )Lq (S , μ )
以上性质说明，当大于1的时候，Lp (S , μ )自反空间 ：Lp (S , μ )
κ
p
{\displaystyle \kappa _{p}}
j
p
:
L
p
(
S
,
μ
)
→
κ
q
L
q
(
S
,
μ
)
∗
⟶
(
κ
p
−
1
)
∗
L
p
(
S
,
μ
)
∗
∗
{\displaystyle j_{p}\colon L^{p}(S,\mu ){\overset {\kappa _{q}}{\to }}L^{q}(S,\mu )^{*}{\overset {\,\,\left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}}{\longrightarrow }}L^{p}(S,\mu )^{**}}
κ
q
{\displaystyle \kappa _{q}}
(
κ
p
−
1
)
∗
{\displaystyle \left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}}
复合映射 jp Lp (S , μ )
∀
f
∈
L
p
(
S
,
μ
)
,
G
∈
L
p
(
S
,
μ
)
∗
,
∃
g
∈
L
q
(
S
,
μ
)
{\displaystyle \forall f\in L^{p}(S,\mu ),\;\;G\in L^{p}(S,\mu )^{*},\;\;\exists g\in L^{q}(S,\mu )}
G
=
κ
p
(
g
)
.
{\displaystyle G=\kappa _{p}(g).}
从而
[
j
p
(
f
)
]
(
G
)
=
[
(
(
κ
p
−
1
)
∗
∘
κ
q
)
(
f
)
]
(
G
)
=
[
(
κ
p
−
1
)
∗
(
κ
q
(
f
)
)
]
(
G
)
=
[
κ
q
(
f
)
]
(
κ
p
−
1
(
G
)
)
=
[
κ
q
(
f
)
]
(
g
)
=
∫
S
f
g
d
μ
=
G
(
f
)
.
{\displaystyle \;\;\left[j_{p}(f)\right](G)=\left[\left(\left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}\circ \kappa _{q}\right)(f)\right](G)=\left[\left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}\left(\kappa _{q}(f)\right)\right](G)=\left[\kappa _{q}(f)\right]\left(\kappa _{p}^{-1}(G)\right)=\left[\kappa _{q}(f)\right](g)=\int _{S}fg\;d\mu =G(f).}
作为两个等距同构的复合映射，jp Lp (S , μ )Lp (S , μ )**
如果测度μ σ-有限测度 ，那么L1 (S , μ )* L∞ (S , μ )
κ
1
:
f
∈
L
∞
(
S
,
μ
)
⟼
(
g
∈
L
1
(
S
,
μ
)
↦
∫
S
f
g
d
μ
)
{\displaystyle \kappa _{1}:\;\;f\in L^{\infty }(S,\mu )\longmapsto \left(g\in L^{1}(S,\mu )\;\mapsto \;\int _{S}fg\;d\mu \right)}
是L∞ (S , μ )L1 (S , μ )*
L∞ (S , μ )L∞ (S , μ )* μ 绝对连续 的有界带号有限可加测度的集合。如果承认选择公理 ，那么一般来说，L∞ (S , μ )* L1 (S , μ )μ L∞ (S , μ )* L1 (S , μ )
给定两个实数：1 ≤ p < q ≤ ∞，当比较Lp (S , μ )Lq (S , μ )
L
1
(
R
)
{\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}
L
∞
(
R
)
{\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {R} )}
假设全集S μ p < q ≤ ∞。那么由赫尔德不等式 有如下限制：
‖
f
‖
p
≤
μ
(
S
)
(
1
/
p
)
−
(
1
/
q
)
‖
f
‖
q
{\displaystyle \|f\|_{p}\leq \mu (S)^{(1/p)-(1/q)}\|f\|_{q}}
这说明空间Lq (S , μ )Lp (S , μ )Lq (S , μ )Lp (S , μ )恒等映射
I
p
,
q
{\displaystyle I_{p,q}}
I
p
,
q
{\displaystyle I_{p,q}}
算子范数 就是由以上不等式取等号的情形确定的：
‖
I
p
,
q
‖
=
μ
(
S
)
(
1
/
p
)
−
(
1
/
q
)
.
{\displaystyle \|I_{p,q}\|=\mu (S)^{(1/p)-(1/q)}.}
研究某个复杂的无穷维赋范空间的时候，常常会使用一个由空间中比较“简单”的元素构成的稠密 子集来逼近空间中的一个元素。假设1 ≤ p < ∞，则空间Lp (S , μ )测度空间 (S , Σ , μ ) 上的简单可积函数 逼近。给定测度空间(S , Σ , μ )，其上的一个简单可积函数指的是形同：
f
=
∑
j
=
1
n
a
j
1
A
j
{\displaystyle f=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\mathbf {1} _{A_{j}}}
的函数。其中的aj Aj ∈ Σ 是测度有限的可测集合。由勒贝格积分 的构造方法可知，简单可积函数的集合在Lp (S , μ )
如果S μ S 博雷尔测度 ，那么可以通过乌雷松引理 证明，所有S 指示函数 都可以通过连续函数逼近。所以所有的简单可积函数可以用连续函数逼近。因而可以证明，Lp (S , μ )Lp (S , μ )[ 1] :84 。对于更具体的空间，可以证明更加强的结果。比如说当S n 维欧几里德空间，而μ S 博雷尔测度 的时候，可以证明，所有紧支撑 的光滑函数 的集合在Lp (S , μ )
^ Piotr Hajłasz, Pekka Koskela. Sobolev Met Poincaré. American Mathematical Society: Memoirs of the American Mathematical Society. 2000, (688).
=\left[\left(\left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}\circ \kappa _{q}\right)(f)\right](G)=\left[\left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}\left(\kappa _{q}(f)\right)\right](G)=\left[\kappa _{q}(f)\right]\left(\kappa _{p}^{-1}(G)\right)=\left[\kappa _{q}(f)\right](g)=\int _{S}fg\;d\mu =G(f).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57db24574d63a7cafa390bca3d4b3db43be41f19)
