Malnormal子群

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群论中，群$G$的子群$H$称为异正规子群，如果对所有$x\in G\setminus H$，$H$和$H^{x}=xHx^{-1}$交于单位元。

性质

• 异正规子群族的交是异正规子群（ｍａｌｎｏｒｍａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ）。
• 异正规子群性质是传递的，群$G$的m异正规子群的异正规子群也是$G$的异正规子群。
• 平凡子群和整个群$G$都是异正规子群。一个正规子群如果也是异正规，必定是此两者之一。

如果$G$除了自身和平凡子群之外，还有其他异正规子群，则$G$称为Frobenius群。Frobenius的一条定理指，Frobenius群$G$若是有限群，$H$是除了$G$和平凡子群之外的异正规子群。设

$N=\left(G\setminus \bigcup _{g\in G}H^{g}\right)\cup \{e\}$

则$N$是$G$的正规子群，且$G$是$N$和$H$的半直积。这结果对无限群不一定成立。

参考

• Pierre de la Harpe, Claude Weber. Malnormal subgroups and Frobenius groups: basics and examples （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Appendix by Denis Osin.