讨论:狭义相对论

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—的的喀喀湖上的幽灵 (talk to Louer) 2009年3月28日 (六) 01:26 (UTC)回复

狭义相对论的几何意义

狭义相对论的一些结论也可以通过几何方式直观地推导出。

虚数坐标系下的三角函数

首先，我们引入虚数坐标系下的三角函数。

如图，建立直角坐标系。对三点A(x₁,ict₁)，B(x₂,ict₁)，C(x₂,ict₂)，令Δx=x₂-x₁，Δt=t₂-t₁，可定义： $\sin \theta ={\frac {ic(t_{2}-t_{1})}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}-(ct_{2}-ct_{1})^{2}}}}={\frac {ic\Delta t}{\sqrt {\Delta x^{2}-\Delta t^{2}c^{2}}}}$ $\cos \theta ={\frac {x_{2}-x_{1}}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}-(ct_{2}-ct_{1})^{2}}}}={\frac {\Delta x}{\sqrt {\Delta x^{2}-\Delta t^{2}c^{2}}}}$

关于这种坐标系和三角函数，有一些与传统概念不同之处：

看上去“长”的长度可能实际上是短的，因此长度不能直观地比较；
正弦函数可以取虚数；
余弦函数绝对值可以大于1。

世界线

由爱因斯坦理论得知，三维空间与一维时间组成四维时空。因此，可以由四维时空坐标系O-xyzt。（因无法画出四维坐标，除特别声明外，各图中不考虑y、z轴，x轴为与速度平行方向。）

一个物体的世界线指它在时空坐标上对应点的轨迹。世界线是物体可以达到的时空坐标的总和。换言之，物体不可能存在于世界线外的任何一点。

比如，一辆车以速度v直线运动，则x=vt，即图中线 $\tan \theta ={\frac {v}{ic}}$ 。

洛伦兹变换的几何推导

在s系，即x-ict系中，设一个物体以v的速度沿x方向运动，零时刻在原点。则其世界线为O-ict'轴。相对此物本身静止的参考系，即x'-O-ict'系，记作s'系，由4.2节可知： $\tan \theta ={\frac {v}{ic}}=-i\beta$

则 $\cos \theta =\gamma \sin \theta =-i\beta \gamma$

则s系中一点P（x,ict）在s'系对应点坐标为（x',ict'），有： $x^{\prime }=x\cos \theta -ict\sin \theta =x\gamma -ct\beta \gamma =\gamma (x-vt)$
$ict^{\prime }=ict\cos \theta +x\sin \theta =ict\gamma -i\beta \gamma x$
$t^{\prime }=r(t-{\frac {vx}{c^{2}}})$

即为洛伦兹变换。

尺缩与钟慢

尺缩

设s系为本征参考系。其间有一段长度 ${\bar {AB}}=l$ ，则在s系中，按照测量的同时原则，应测量AB两点在s'系中同一时刻坐标差，那么，看到的B必在s系中早于A，记为B'。

则 $l^{\prime }={\overline {AB^{\prime }}}={\frac {l}{\cos \theta }}={\frac {l}{r}}=l{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}<l$ ，故尺缩。

或也可解释为，长度AB即为同一时刻A、B两点x坐标之差。A、B在s系世界线均平行ict轴（静止），在s'系用平行x'轴的直线截它们即得 $l^{\prime }={\overline {AB^{\prime }}}$ 。

钟慢

设s系为本征参考系。在s系中有一段时间差δt，即A(x₁,ict₁)，B(x₂,ict₂)。在s'系中，时间差即为坐标在ict'分量上的差，即 ${\overline {AB^{\prime }}}={\bar {AB}}\cos \theta ={\overline {AB}}r$

所以 $t^{\prime }={\frac {t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}<t$ ，故钟慢。

分析

在坐标上看，时间轴与空间轴的情况十分类似，但“尺”是本征系最长，“钟”是本征系最快，初学者往往难以理解。这涉及时间差与长度的测量。

测量时间差时，只需在同一系中记录两点（四维点）的时间坐标再求差即可，与其空间位置完全无关。

而测量长度时，要求在测量系中必须同时测头尾坐标，再求空间坐标之差，这两点在测量时本征参考系的时间坐标可以不同。但由于在本征参考系空间位置不变，故（在4.4.1节图中）要算 ${\overline {AB^{\prime }}}$ 而非 ${\overline {AB^{*}}}$ （在s系可以看出，B在任何时刻都不在B*）。

事实上，也可以测量不同时的空间坐标差，但这就不是长度了，也不具有明显的几何意义。

速度合成公式

一物体A相对s系以v₁运动，其世界线为OT₁，tanθ=-iβ₁；一物体B相对A以v₂运动，其世界线为OT₂，tanφ=-iβ₂。B相对s系的速度设为v₃。则有 $-i\beta _{3}=\tan(\theta +\phi )={\frac {\tan \theta +\tan \phi }{1-\tan \theta \tan \phi }}$
$={\frac {-i\beta _{1}-i\beta _{2}}{1+\beta _{1}\beta _{2}}}$

得 $v_{3}={\frac {v_{1}+v_{2}}{1+{\frac {v_{1}v_{2}}{c^{2}}}}}$ ，即为速度合成公式。

特别地，当β=1，即v=c时，tanθ=-i，θ=45°，可以算得 $\theta \oplus \phi =\theta ,v\oplus c=v$

光波的多普勒效应

在s系中，光波周期为T，则在0时刻和icT时刻发出两束光的世界线如图。

在s'系中易看出T'为两条世界线与ict'轴交点间长度。

直线l₁方程：ict=icT+x；
直线O-ict'方程：ict=x cotθ
得 $x={\frac {icT}{1-\cot \theta }}$
$icT^{\prime }={\frac {x}{\sin \theta }}={\frac {icT}{\sin \theta -\cos \theta }}$
$={\frac {icT}{-i\beta \gamma -\gamma }}$