在抽象代數中，一個群的交換子（commutator）或換位子是一個二元運算子。設g及h 是 群G中的元素，他們的交換子是g −1 h −1 gh，常記為[ g, h ]。只有當g和h符合交換律（即gh = hg）時他們的交換子才是這個群的單位元。
一個群G的全部交換子生成的子群叫做群G的導群，記作D(G)。
群論
群G中兩個元素g和h的交換子為元素
- [g, h] = g−1h−1gh
它等於群的幺元當且僅當g和h可交換（即gh = hg）。
環論
環或結合代數上兩個元素a和b的交換子定義為：
![{\displaystyle [a,b]=ab-ba.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c73ba7fbd6260acd540051cc2c6f9131ff0d7f8e)
量子力學
量子力學中，經常用到對易關係（commutation relation），即
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57394bd8df1218ed4fe4be88716d657ed3aee846)
；
其中；
、
均為量子力學的算符，![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5e06b5842911bfd8dbb8890f05bb5bf9ae90ae7)
是其對易算符，也稱交換子。
如果上式等於零，則稱 、 是對易的，即意味着 和 兩個算符的運算順序可以調換。反之則稱非對易的，運算順序不可以調換。
量子力學中，交換子有以下特性:
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=-[{\hat {B}},{\hat {A}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71751561fdf8eb615f1a5edd7ed2e5acf65e913f)
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}+{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]+[{\hat {A}},{\hat {C}}],\quad [{\hat {A}}+{\hat {B}},{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {C}}]+[{\hat {B}},{\hat {C}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83cef7b865023dbbf40833c3a3ef49634082e1fb)
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]{\hat {C}}+{\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}],\quad [{\hat {A}}{\hat {B}},{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {C}}]{\hat {B}}+{\hat {A}}[{\hat {B}},{\hat {C}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91265f173314a577a8d79a23007739e37e58a9fb)
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {A}}^{n}]=0,\quad n=1,2,3...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e0b1377734a1894005c2b689bd41341fb181372)
![{\displaystyle [k{\hat {A}},{\hat {B}}]=[{\hat {A}},k{\hat {B}}]=k[{\hat {A}},{\hat {B}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/875f277b4e14aa8f38c00a3d4271c40775417d17)
![{\displaystyle [{\hat {A}},[{\hat {B}},{\hat {C}}]]+[{\hat {C}},[{\hat {A}},{\hat {B}}]]+[{\hat {B}},[{\hat {C}},{\hat {A}}]]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a497dd909a71fee526b5a92d6cab24a97969b9d8)
量子力學中的各個力學量之間，常用的對易關係有：
以下，
是位置算符、
是動量算符、
是角動量算符（包括軌道角動量、自旋角動量等），而
是克羅內克δ、
是列維-奇維塔符號。其中i、j、k均可以指代x、y、z三個方向中的任意一個。
| 對易關係 |
更具體的形式
|
![{\displaystyle [{\hat {x}}_{i},{\hat {x}}_{j}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab641df0fa40efa95bcb23b0a63a4714bec05f3e) |
![{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {x}}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eda216bd340f5a81206678907ede2c8d3a71531) 、![{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {y}}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32fc246e393a20c5f612b2fc4149c8985eb28380)
|
![{\displaystyle [{\hat {p}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/866693dbe80a3a82eb8008c95ba9769d539d44d8) |
![{\displaystyle [{\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{x}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/018d688c818207028d9e6cd1917e2c23556e1fe2) 、![{\displaystyle [{\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{y}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58a67655abb2cb9f3065311648991102c74d5087)
|
![{\displaystyle [{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e4c1fab8f5cb416b4257732b99639fdeb9dac0) |
![{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]=i\hbar }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b381467bfc81a02730bc71641cb995e1937703c) 、![{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}_{y}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c37af5e6e81f00f1549fa26d17f7e47f9a660bf) 、![{\displaystyle [{\hat {y}},{\hat {p}}_{x}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/091546dba28a6ebc1d56d3ce61155d09154b4092) 、![{\displaystyle [{\hat {y}},{\hat {p}}_{y}]=i\hbar }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14bd63f22f87bba5f43e4d69b18adfce58d47f91)
|
![{\displaystyle [{\hat {L}}_{i},{\hat {L}}_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}{\hat {L}}_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72c450a1d388ca0d8d045536f52ad96e981c1eb2) |
![{\displaystyle [{\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y}]=i\hbar {\hat {L}}_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07e89c5196ea3bfa9c2f08c58bc42627b279939c) 、![{\displaystyle [{\hat {L}}_{y},{\hat {L}}_{z}]=i\hbar {\hat {L}}_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2276e5773ca5bec8f3d756a5c2442a7c8c258944) 、![{\displaystyle [{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}]=i\hbar {\hat {L}}_{y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528d088a6497677773eef131ba66fda4780e44b2)
|
正則對易關係
物理學中，正則對易關係是正則共軛的量之間的關係，這樣的量從定義可以發現：一個量是其共軛量的傅立葉變換的結果。舉例來說：
![{\displaystyle [x,p]=i\hbar }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dda495e8923de3bce36ce44894a0f55a12b291e)
上面的x與p分別為一維空間中的一點粒子的位置與動量，而![{\displaystyle [x,p]=xp-px}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed52505a55ee163af3eb7cff200b6941c53ef1cd)
為所謂
與
的交換算符，
是虛數單位，
為約化普朗克常數，等於
。此一關係常歸功於馬克斯·玻恩，並且此式子暗示了以海森堡為名的不確定性原理。
與古典力學的關係
相對於量子力學，古典物理中所有可觀測量都可對易（交換），而交換算符會是零；然而仍然有類似的關係存在：需將交換子換成泊松括號，且常數
換成
：
這樣的觀察導致了保羅·狄拉克提出假設：一般來說，古典的觀測量
其量子對應項
應滿足
![{\displaystyle [{\hat {f}},{\hat {g}}]=i\hbar {\widehat {\{f,g\}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f908d28f895ef9dde7477023163ecb0416ded9)
。
於1927年，赫爾曼·外爾（Hermann Weyl）指出了量子算符與相空間中古典分布之間的對應關係並不成立。不過他倒是提出了一個機制，稱作魏爾量子化（Weyl quantization），為了一種稱作形變量子化（deformation quantization）的量子化方法提供了數學途徑。
延伸閱讀
- Fraleigh, John B., A First Course In Abstract Algebra 2nd, Reading: Addison-Wesley, 1976 [2020-04-07], ISBN 0-201-01984-1, （原始內容存檔於2021-07-09）
- Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics
2nd, Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-805326-X
- Herstein, I. N., Topics In Algebra 2nd, John Wiley & Sons, 1975
- Liboff, Richard L., Introductory Quantum Mechanics 4th, Addison-Wesley, 2003, ISBN 0-8053-8714-5
- McKay, Susan, Finite p-groups, Queen Mary Maths Notes 18, University of London, 2000, ISBN 978-0-902480-17-9, MR 1802994
- McMahon, D., Quantum Field Theory, USA: McGraw Hill, 2008, ISBN 978-0-07-154382-8
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