伽瑪分布

伽瑪分布（英語：Gamma distribution）是統計學的一種連續機率分布。伽瑪分佈中的母數α，稱為形狀參數，β稱為尺度參數。

Gamma

機率密度函數
累積分布函數
參數	$k>0\,$ 形狀參數 (實數) $\theta >0\,$ 尺度參數 (實數)
值域	$x\in (0;\infty )\!$
機率密度函數	$x^{k-1}{\frac {\exp {\left(-x/\theta \right)}}{\Gamma (k)\,\theta ^{k}}}\,\!$
累積分布函數	${\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}\,\!$
期望值	$k\theta \,\!$
中位數	no simple closed form
眾數	$(k-1)\theta \,\!$ for $k\geq 1\,\!$
變異數	$k\theta ^{2}\,\!$
偏度	${\frac {2}{\sqrt {k}}}\,\!$
峰度	${\frac {6}{k}}\,\!$
熵	$k+\ln \theta +\ln \Gamma (k)\!$ $+(1-k)\psi (k)\!$
動差母函數	$(1-\theta \,t)^{-k}\,\!$ for $t<1/\theta \,\!$
特徵函數	$(1-\theta \,i\,t)^{-k}\,\!$

實驗定義與觀念

假設X₁, X₂, ... X_n 為連續發生事件的等候時間，且這n次等候時間為獨立的，那麼這n次等候時間之和Y (Y=X₁+X₂+...+X_n)服從伽瑪分布，即 Y~Gamma(α , β)，亦可記作Y~Gamma(α , λ)，其中α = n，而 β 與λ互為倒數關係，λ 表單位時間內事件的發生率。

指數分布為α = 1的伽瑪分布。

記號

有兩種表記方法：

$X\sim \Gamma (\alpha ,\beta )$或$X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )$

兩者所表達意義相同，只要將以下式子做${\color {Red}\lambda ={\frac {1}{\beta }}}$的替換即可，即，其機率密度函數為：

$f\left(x\right)={\frac {x^{\left(\alpha -1\right)}{\color {Red}\lambda }^{\alpha }e^{\left(-{\color {Red}\lambda }x\right)}}{\Gamma \left(\alpha \right)}}={\frac {x^{\left(\alpha -1\right)}e^{\left(-{\color {Red}{\frac {1}{\beta }}}x\right)}}{{\color {Red}\beta }^{\alpha }\Gamma \left(\alpha \right)}}$，x > 0

其中Gamma函數之特徵為：

${\begin{cases}\Gamma (\alpha )=(\alpha -1)!&{\mbox{if }}\alpha {\mbox{ is }}\mathbb {Z} ^{+}\\\Gamma (\alpha )=(\alpha -1)\Gamma (\alpha -1)&{\mbox{if }}\alpha {\mbox{ is }}\mathbb {R} ^{+}\\\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}\end{cases}}$

特性

母函數、期望值、變異數

• Gamma分配的矩母函數（m.g.f）

$M_{x}\left(t\right)=E\left(e^{xt}\right)={\frac {\lambda ^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right)}}\int _{0}^{\infty }e^{xt}x^{\alpha -1}e^{-\lambda x}dx=\left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)^{\alpha }=\left(1-{\beta }{t}\right)^{-\alpha }$

• 概率母函數（p.g.f）

$K_{x}\left(t\right)=\ln M_{x}\left(t\right)=\alpha \left[\ln \lambda -\ln \left(\lambda -t\right)\right]$

• 期望值

${\frac {dK_{x}\left(t\right)}{dt}}={\frac {\alpha }{\lambda -t}},\quad when(t=0),E\left(X\right)={\frac {\alpha }{\color {Red}\lambda }}=\alpha {\color {Red}\beta }$

• 方差

${\frac {d^{2}K_{x}\left(t\right)}{dt^{2}}}={\frac {\alpha }{\left(\lambda -t\right)^{2}}},\quad when(t=0),\sigma ^{2}\left(X\right)={\frac {\alpha }{\color {Red}{\lambda ^{2}}}}=\alpha {\color {Red}{\beta ^{2}}}$

Gamma的可加性

當兩隨機變數服從Gamma分布，且相互獨立，且母數（$\lambda$或$\beta$）相同時，Gamma分布具有可加性。

$\coprod {\begin{cases}r.v.X\sim \Gamma \left({\color {green}\alpha _{1}},\lambda \right)\\r.v.Y\sim \Gamma \left({\color {green}\alpha _{2}},\lambda \right)\end{cases}}\Longrightarrow X+Y\sim \Gamma \left({\color {green}\alpha _{1}+\alpha _{2}},\lambda \right)$

外部連結

• LDA-math-神奇的Gamma函數（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• 分布計算器（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（英文）