陳述
克萊因-戈爾登方程為
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很多時候會用自然單位(c=ħ=1)寫成
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由於平面波為此方程已知的一組解,所以方程形式由它決定:
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遵從狹義相對論的能量動量關係式
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跟薛定諤方式不同,每一個k在此都對應着兩個 ,只有通過把頻率的正負部份分開,才能讓方程描述到整個相對論形式的波函數。若方程在時間流逝下不變,則其形式為
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相對論量子力學下的形式推導
自由粒子的薛定諤方程式是非相對論量子力學的最基本方程式:
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其中 是動量算符。
薛定諤方程式並非相對論協變的,意味着它不滿足愛因斯坦的狹義相對論。
利用狹義相對論中的相對論能量公式 替換薛定諤方程左邊的動能 項,最終可得它的協變形式:
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其中 ,達朗貝爾算符 .
從相對論量子力學的觀點來看,達朗貝爾算符的出現意味着克萊因-戈爾登方程式是一個量子力學的波方程。
量子場論下的形式推導
場論中,對於自旋為零的場(標量場),拉格朗日量被寫成
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這裡依照量子場論的習慣選取了自然單位,將光速 和普朗克常數 都取作1。
代入歐拉-拉格朗日方程 可直接得到克萊因-戈爾登方程。
從量子場論的觀點來看,以上推導過程都在經典場論的範圍之內,因此克萊因-戈爾登方程式只是一個經典場的場方程式。
自由粒子解
相對論量子力學中自由粒子只是一個理想化的概念,但形如克萊因-戈爾登方程式這樣的波方程仍然具有形式上的平面波解:
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其中
從克萊因-戈爾登方程式得出的能量本徵值為
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因而克萊因-戈爾登方程式的解包含了負能量。同時,由這個解導出相應的概率密度也不能保證是正值。這兩個問題使得克萊因-戈爾登方程在很長一段時間裡被認為是缺乏物理意義的。英國物理學家保羅·狄拉克為了確保概率密度具有物理意義建立了狄拉克方程,但這個方程仍然沒有避免出現負能量。
行波解
克萊因-戈爾登方程有行波解[1]
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Klein Gordon equation traveling wave plot4
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Klein Gordon equation traveling wave plot5
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Klein Gordon equation traveling wave plot6
參見
參考資料
- ^ 83.Inna Shingareva, Carlos Lizárraga-Celaya,Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple p64-72 Springer
參考文獻