凱勒流形

在數學中，一個凱勒流形（Kähler manifold）是具有滿足一個可積性條件的酉結構（一個U(n)-結構）的流形。特別地，它是一個黎曼流形 ^[1]、複流形以及辛流形，這三個結構兩兩相容。

U(n)=O(2n)\cap GL(n,\mathbf {C} )\cap Sp(2n).

若沒有任何可積性條件，類似的概念是一個殆埃爾米特流形。如果辛結構是可積的（但復結構不要求），則這個概念是殆凱勒流形；如果複結構是可積的（但辛結構不要求），則為埃爾米特流形。

凱勒流形以數學家埃里希·凱勒命名，在代數幾何中占有重要的地位：它們是複代數簇的一個微分幾何推廣。

定義

帶有一個埃爾米特度量的流形是殆埃爾米特流形；凱勒流形是帶有滿足一個可積性條件的埃爾米特度量的流形，它有多種等價的表述。

凱勒流形可以多種方法刻畫：它們通常定義了具有一個附加結構的複流形（或具有附加結構的辛流形，或具有附加結構的黎曼流形）。

可以將這三個結構之間的聯繫總結為 $h=g+i\omega$ ，這裡 h 是埃爾米特形式，g 是黎曼度量，i 是殆復結構，而 $\omega$ 是殆辛結構。

複流形 M 上一個凱勒度量是切叢 $TM$ 上一個埃爾米特度量，滿足一個有多種等價刻畫的條件（最幾何的方式是由度量誘導的平行移動在切空間上給出複線性映射）。利用局部坐標它規定如下：如果

h=\sum h_{i{\bar {j}}}\;dz^{i}\otimes d{\bar {z}}^{j}

是埃爾米特度量，則伴隨的凱勒形式定義為（在差一個因子 i/2 的意義下）

\omega =\sum h_{i{\bar {j}}}\;dz^{i}\wedge d{\bar {z}}^{j}

是閉的：即 dω = 0。如果 M 帶有這樣一個度量則稱之為凱勒流形。

凱勒流形上的度量局部滿足

g_{i{\bar {j}}}={\frac {\partial ^{2}K}{\partial z^{i}\partial {\bar {z}}^{j}}}

對某個函數 K，稱為凱勒勢。卡拉比率先考慮了凱勒流形上的微分幾何問題，特別是典則度量（包括凱勒-愛因斯坦，常數量曲率凱勒度量和極值度量）的存在性與唯一性問題。丘成桐於七十年代取得了突破性進展，近年來此問題取得了數學界極其廣泛的關注，屬於微分幾何中的中心問題之一。

一個凱勒流形，伴隨的凱勒形式和度量叫做凱勒-愛因斯坦（Kähler-Einstein，有時也叫愛因斯坦-凱勒）的當且僅當其里奇張量與度量張量成比例， $Ric\;g=\lambda g$ ，對某個常數 λ。這個名稱是為了紀念愛因斯坦關於宇宙常數的考慮。更多細節見愛因斯坦流形一文。

復歐幾里得空間 Cⁿ 帶着標準埃爾米特度量是一個凱勒流形。
環面 Cⁿ/Λ（Λ 為一完全格）由 Cⁿ 上繼承一個平坦度量，從而是一個緊緻凱勒流形。
黎曼曲面上每個黎曼度量是凱勒的，因為 ω 閉的條件在（實）2 維是平凡的。
復射影空間 CPⁿ 有一個齊性凱勒度量，富比尼–施圖迪度量。向量空間 C^n + 1 上一個埃爾米特形式定義了 GL(n + 1,C) 中一個酉子群；一個富比尼–施圖迪度量在差一個位似（整體縮放）的意義下由這樣一個 U(n+1) 作用下的不變性決定；由初等線性代數，任何兩個富比尼–施圖迪度量在 CPⁿ 的一個投影自同態下是等距的，故無需言明通常就說富比尼–施圖迪度量。
一個凱勒流形的複流形上的誘導度量是凱勒的。特別地，任何施坦流形（嵌入 Cⁿ）或代數簇（嵌入 CPⁿ）是凱勒型的。這對它們的分析理論是基本的。
單位復球體 Bⁿ 有一個凱勒度量叫做伯格曼度量，具有常全純截面曲率。
每個K3曲面是凱勒的（得自蕭蔭堂的一個定理）。

凱勒流形的一個重要子類是卡拉比–丘流形。

2021年11月3日，科技日報自稱中國科學技術大學的幾何物理中心創始主任陳秀雄教授與合作者程經睿解決了若干有關凱勒流形上常標量曲率度量和卡拉比極值度量的問題。他們還在刊物《美國數學會雜誌》上發表兩篇論文。^[2]

André Weil, Introduction à l'étude des variétés kählériennes (1958)
Alan Huckleberry and Tilman Wurzbacher, eds. Infinite Dimensional Kähler Manifolds (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8.
Andrei Moroianu, Lectures on Kähler Geometry (2007), London Mathematical Society Student Texts 69, Cambridge ISBN 978-0-521-68897-0.