卡比博-小林-益川矩陣

卡比博-小林-益川矩陣（Cabibbo-Kobayashi-Maskawa，CKM或KM matrix）是粒子物理標準模型的一個重要組成成份，它表徵了頂類型和底類型夸克間通過W粒子弱相互作用的耦合強度。對二代夸克情形，它是由意大利物理學家卡比博在1963年首先給出的，通常被稱為卡比博矩陣或卡比博角。1973年日本物理學家小林誠和益川敏英把它推廣到三代夸克。三代矩陣含有相位，可以用來解釋弱相互作用中的電荷宇稱對稱性破缺（CP破壞），也被經常用來解釋宇宙重子數不對稱。CKM矩陣在輕子中的對應是牧-中川-坂田矩陣（Maki-Nakagawa-Sakata或MNS）。

內容

歷史

早期的粒子物理模型包涵三種夸克—上夸克、下夸克和奇異夸克。在研究強子的弱衰變中，人們發現奇異數守恆的過程要比不守恆的過程進行得快約20倍。為解釋此現象，卡比博引入了一個下夸克和奇異夸克（這兩種夸克有相同的量子數）之間的混合角θ_c。上夸克與下夸克和奇異夸克的相互作用耦合分別正比於此角的餘弦（cosθ_c）和正弦（sinθ_c）。實驗上sinθ_c約為0.23。

1973年，在一篇發表在日本期刊《理論物理學進展》上的題為「弱相互作用可重整化理論中的CP破壞」的論文中，小林誠和益川敏英把卡比博角推廣到三代夸克。他們發現雖然一般的三維幺正矩陣有九個實參數，但是只有四個具有物理意義，而其它的都可以被吸收到夸克波函數的位相中而不為觀測。四個物理參數中的一個是位相因子，它提供了CP破壞的微觀機制，同時猜測了第三代夸克的存在，因此具有重大的物理意義。他們二人也因而與南部陽一郎分享了2008年諾貝爾物理學獎。

如今，尋找CKM矩陣參數的微觀物理起源是粒子物理理論研究的重大課題之一。

參數化表示

CKM矩陣是一個三維幺正矩陣。 小林誠和益川敏英當初給的表示是:

${\begin{bmatrix}\cos \theta _{1}&-\sin \theta _{1}\cos \theta _{3}&-\sin \theta _{1}\sin \theta _{3}\\\sin \theta _{1}\cos \theta _{2}&\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}\cos \theta _{3}-\sin \theta _{2}\sin \theta _{3}e^{i\delta }&\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cos \theta _{3}e^{i\delta }\\\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}&\cos \theta _{1}\sin \theta _{2}\cos \theta _{3}+\cos \theta _{2}\sin \theta _{3}e^{i\delta }&\cos \theta _{1}\sin \theta _{2}\sin \theta _{3}-\cos \theta _{2}\cos \theta _{3}e^{i\delta }\end{bmatrix}}$

在標準參數化下，它可以由三個混合角（θ₁₂，θ₁₃，θ₂₃）和一個相位（δ）表示為

${\begin{bmatrix}V_{ud}&V_{us}&V_{ub}\\V_{cd}&V_{cs}&V_{cb}\\V_{td}&V_{ts}&V_{tb}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{12}c_{13}&s_{12}c_{13}&s_{13}e^{-i\delta _{13}}\\-s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&s_{23}c_{13}\\s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&-c_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{23}c_{13}\end{bmatrix}}.$

其中（u，c，t）和（d，s，b）分別代表三代頂類型（上、粲、頂）和底類型（下、奇異、底）夸克，c₁₂，s₁₂等是cosθ₁₂，sinθ₁₂等的簡寫。 目前實驗給出的數據：

θ₁₂ = 7001130399999999999♠13.04±0.05°

θ₁₃ = 6999201000000000000♠0.201±0.011°

θ₂₃ = 7000238000000000000♠2.38±0.06°

δ₁₃ = 7000120000000000000♠1.20±0.08

實驗上CKM矩陣參數滿足s₁₃<<s₂₃<<s₁₂<<1。 描寫這一重要特性的一個常用參數化表示是由美國物理學家林肯·沃芬斯坦給出的。記

$s_{12}=\lambda ={\frac {|V_{us}|}{\sqrt {|V_{ud}|^{2}+|V_{us}|^{2}}}},\quad s_{23}=A\lambda ^{2}=\lambda \left|{\frac {V_{cb}}{V_{us}}}\right|,\,\,$

$s_{13}e^{i\delta }=V_{ub}^{*}=A\lambda ^{3}(\rho +i\eta )={\frac {A\lambda ^{3}({\bar {\rho }}+i{\bar {\eta }})(1-A^{2}\lambda ^{4})^{1/2}}{(1-\lambda ^{2})^{1/2}[1-A^{2}\lambda ^{4}({\bar {\rho }}+i{\bar {\eta }})]}},$

截止到λ³，CKM矩陣為

${\begin{bmatrix}1-\lambda ^{2}/2&\lambda &A\lambda ^{3}(\rho -i\eta )\\-\lambda &1-\lambda ^{2}/2&A\lambda ^{2}\\A\lambda ^{3}(1-\rho -i\eta )&-A\lambda ^{2}&1\end{bmatrix}}.$

么正三角形

幺正三角形

CKM矩陣也可用所謂的幺正三角形來圖像表示。最常見的是正交關係

$V_{ud}V_{ub}^{*}+V_{cd}V_{cb}^{*}+V_{td}V_{tb}^{*}=0$

用測量最精確的項（V_cdV^*_cb）來歸一，此關係可以表示為複平面上的三角形，其三頂點坐標分別為（0，0），（1，0） 和（${\bar {\rho }}$，${\bar {\eta }}$），如右圖所示。它的面積與位相參數表示化無關，是刻劃CP破壞的不變量。文獻中稱之為雅爾斯廓格（Jarlskog）不變量。

數學推導

CKM矩陣的數學推導相當平庸。首先任意一個三維矩陣可以寫成歐拉形式V=V₂V₁V₃，其中對角塊矩陣V₁，V₂，V₃有以下形式（X代表非零元）

$V_{1}={\begin{bmatrix}X&X&0\\X&X&0\\0&0&X\end{bmatrix}},\quad V_{2,3}={\begin{bmatrix}X&0&0\\0&X&X\\0&X&X\end{bmatrix}}$

其次注意到任意一個二維幺正矩陣可以表為（ε，η，ρ為幺模複數，c=cosθ，s=sinθ）

$U={\begin{bmatrix}\epsilon c&\epsilon \eta s\\-\rho s&\rho \eta c\end{bmatrix}}$

由此

${\begin{bmatrix}\epsilon ^{*}&0\\0&\rho ^{*}\end{bmatrix}}U{\begin{bmatrix}1&0\\0&\eta ^{*}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c&s\\-s&c\end{bmatrix}}$

因此可以通過一系列對角幺正矩陣作矩陣變換

$V\rightarrow DVD'=DV_{2}D''D''^{*}V_{1}D'''^{*}D'''V_{3}D'=V_{2}'V_{1}'V_{3}'$

使得

$V_{2}'={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c_{2}&-s_{2}\\0&s_{2}&c_{2}\end{bmatrix}},\quad V_{3}'={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c_{3}&s_{3}\\0&-s_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}$

在上式中V₂'仍是與V₂同形的一般幺正矩陣， 但可以繼續在V上左、右相乘與V₂'和V₃'對易的對角矩陣，即 diag（α，β，β）型矩陣（α，β幺模），使得

$V_{1}'={\begin{bmatrix}c_{1}&s_{1}&0\\-s_{1}&c_{1}&0\\0&0&e^{i\delta }\end{bmatrix}}$

最後將所有的對角（相位）變換矩陣吸收到夸克波函數中去，V₂'，V₁'，V₃'相乘即得CKM矩陣。

參數測量

CKM矩陣元實驗測定和最新數據的詳細資料，可參閱粒子數據組的網頁和出版物

$V_{CKM}={\begin{bmatrix}0.97427\pm 0.00015&0.22534\pm 0.00065&0.00351_{-0.00014}^{+0.00015}\\0.22520\pm 0.00065&0.97344\pm 0.00016&0.0412_{-0.0005}^{+0.0011}\\0.00867_{-0.00031}^{+0.00029}&0.0404_{-0.0005}^{+0.0011}&0.999146_{-0.000046}^{+0.000021}\end{bmatrix}}.$

沃爾芬斯坦參數：$\lambda =0.22535\pm 0.00065,A=0.817\pm 0.015,{\bar {\rho }}=0.136\pm 0.018,{\bar {\eta }}=0.348\pm 0.014$

和雅爾斯廓格不變量：$J=(2.96_{-0.16}^{+0.20})\times 10^{-5}$

獨立變量的計算

考慮有 N 代夸克 (2N 種風味)，那麼

• 一個 N × N 的么正矩陣需要 N² 個實係數來給定 (因為么正矩陣滿足 VV^† = I，其中 V^† 是 V 的共軛轉置，而 I 是單位矩陣) 。
• 其中 2N − 1 個係數不是物理上實際的，因為每個夸克都可以吸收一個相位 (質量本徵態和弱作用力本徵態各可吸收一個)，而全部的共同相位是不可觀測的。因此，不受相位選擇影響的自由變數總共有 N² − (2N − 1) = (N − 1)² 個。
  • 這其中有 N(N − 1)/2 個是旋轉角度，稱為夸克的混合角。
  • 而剩下的 (N − 1)(N − 2)/2 個就是造成 CP破壞的複數相位。

當 N = 2 時，獨立變量只有一個，就是兩代夸克間的混合角。當初只有兩代夸克被發現時，這是第一種 CKM 矩陣。其角度稱為卡比博角度，由尼古拉·卡比博發明。

在標準模型中，N = 3，總共有三個混合角和一個 CP 破壞相位。

與重子生成的關係

CP破壞是解釋自宇宙大爆炸以來僅物質存在(即反物質消失)的沙卡洛夫三條件（熱力學非平衡，重子數不守恆，C和CP對稱性不守恆）之一，因此CKM矩陣在粒子宇宙學中有着重要應用。但是現在公認的結論是實驗測量到CP破壞的數量級，遠不足以解釋觀測到的重子不對稱度，因此重子生成必須有其他的來源。

參考資料

書籍

• 鄭大培，李靈峰. Gauge Theory of Elementary Particle Physics [基本粒子物理的規範理論]. 牛津大學出版社. 1989. ISBN 0-19-851956-7. 
• H. Georgi. Weak Interactions and Modern Particle Physics [弱相互作用和現代粒子物理學]. Addison-Wesley. 1984. ISBN 0-8053-3163-8. 

外部連結

• 粒子物理數據組（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）首頁
• 康奈爾大學的CLEO（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）實驗
• 高能加速器研究機構 (KEK（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）) 的 BELLE（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 實驗
• SLAC國家加速器實驗室 (SLAC（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）) 的 BaBar（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 實驗
• 費米國家加速器實驗室（FNAL（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館））的D0（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）和CDF（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）實驗
• 歐洲核子研究中心（CERN（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館））的LHCb（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 實驗