雙曲線

在數學中，雙曲線（英語：hyperbola；希臘語：ὑπερβολή，意思是超過、超出）是定義為平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線。

它還可以定義為與兩個固定的點（稱為焦點）的距離差是常數的點的軌跡。這個固定的距離差是$a$的兩倍，這裡的$a$是從雙曲線的中心到雙曲線最近的分支的頂點的距離。$a$還稱為雙曲線的半實軸。焦點位於貫軸上，它們的中間點稱為中心。

從代數上說，雙曲線是在笛卡爾平面上由如下方程定義的曲線

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

使得$B^{2}>4AC$，這裡的所有係數都是實數，並存在定義在雙曲線上的點對$(x,y)$的多於一個的解。

在笛卡爾坐標平面上，兩個互為倒數的變量的圖像是雙曲線。

定義

共軛單位直角雙曲線

上面已經列出：

• 平面切直角圓錐面的兩半的交截線。
• 與兩個固定點（稱為焦點）距離差為常數的點的軌跡。
• 到一個焦點的距離和到一條直線（稱為準線）的距離的比例是大於$1$的常數的點的軌跡。這個常數稱為雙曲線的離心率。

雙曲線由分開兩個焦點的兩個分離的稱為臂或分支的曲線構成。隨着到焦點的距離的變大，雙曲線就越逼近稱為漸近線的兩條線。漸近線交叉於雙曲線的中點，並對於東西開口的雙曲線有斜率$\pm {\frac {b}{a}}$，對於北南開口的雙曲線有斜率$\pm {\frac {a}{b}}$。

雙曲線有個性質，出自一個焦點的射線反射於雙曲線後看起來像是出自另一個焦點。

雙曲線的一個特殊情況是「等軸」或「直角」雙曲線，它的漸近線交於直角。以坐標軸作為漸近線的直角雙曲線由方程$xy=c$給出，這裡的$c$是常數。

如果對雙曲線方程交換$x$和$y$，得到它的共軛雙曲線。共軛雙曲線有同樣的漸近線。

笛卡爾坐標

中心位於$(h,k)$的左右開口的雙曲線：

${\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1$

中心位於$(h,k)$的上下開口的雙曲線：

${\frac {\left(y-k\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(x-h\right)^{2}}{b^{2}}}=1$

實軸貫穿雙曲線的中心並交雙曲線兩臂於它們的頂點。焦點位於雙曲線實軸的延長線上。虛軸貫穿雙曲線中點並垂直於實軸。

在兩個公式中，$a$是半實軸（在雙曲線兩臂之間沿着實軸測量的距離），而$b$是半虛軸。

如果用雙曲線的兩個頂點的切線交漸近線形成一個矩形，在切線上的兩邊的長度是$2b$，平行於實軸的兩邊的長度是$2a$，注意$b$可以大於$a$。

如果計算從雙曲線上任意準線上的點到每個焦點的距離，這兩個距離的差的絕對值總是$2a$。

直角雙曲線$y={\tfrac {1}{x}}$的圖像。

離心率給出自：

$e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$

左右開口的雙曲線的焦點是：$\left(h\pm c,k\right)$，其中c給出自$c^{2}=a^{2}+b^{2}$。

上下開口的雙曲線的焦點是：$\left(h,k\pm c\right)$，其中c給出自$c^{2}=a^{2}+b^{2}$。

等軸雙曲線

等軸雙曲線的實軸與虛軸長相等，即$2a=2b$且$e={\sqrt {2}}$，此時漸近線方程為$y=\pm x$（無論焦點在$x$軸還是$y$軸）。

單位雙曲線屬於等軸雙曲線，且半實軸和半虛軸的長均為$1$，即$a=b=1$，滿足方程：

$x^{2}-y^{2}=1$或$y^{2}-x^{2}=1$。

對於以直線$x=h$和直線$y=k$為漸近線的直角雙曲線：

$(x-h)(y-k)=c$

這種雙曲線最簡單的例子是：

$y={\frac {m}{x}}$

共軛雙曲線

當雙曲線$S'$的實軸是雙曲線$S$的虛軸，且雙曲線$S'$的虛軸是雙曲線$S$的實軸時，稱雙曲線$S'$與雙曲線$S$為共軛雙曲線。若$S$的方程為

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,$

則$S'$的方程為

${\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1.$

其特點為：

1. 共漸近線，與漸近線平行的直線和雙曲線有且只有一個交點。
2. 焦距相等。
3. 兩雙曲線的離心率平方後的倒數相加等於$1$。

極坐標

左右開口的雙曲線：

$r^{2}=a^{2}\sec {2}\theta$

上下開口的雙曲線：

$r^{2}=-a^{2}\sec {2}\theta$

上右下左開口的雙曲線：

$r^{2}=a^{2}\csc {2}\theta$

上左下右開口的雙曲線：

$r^{2}=-a^{2}\csc {2}\theta$

在所有公式中，中心在極點，而$a$是半實軸和半虛軸。

雙曲線的參數方程

如同正弦和餘弦函數給出橢圓的參數方程，雙曲函數給出雙曲線的參數方程。 左右開口的雙曲線：

${\begin{cases}x=a\sec {t}+h\\y=b\tan {t}+k\\\end{cases}}$

或

${\begin{cases}x=a\cosh {t}+h\\y=b\sinh {t}+k\\\end{cases}}$

上下開口的雙曲線：

${\begin{cases}x=b\tan {t}+h\\y=a\sec {t}+k\\\end{cases}}$

或

${\begin{cases}x=b\sinh {t}+h\\y=a\cosh {t}+k\\\end{cases}}$

在所有公式中，$(h,k)$是雙曲線的中點，$a$是半實軸而$b$是半虛軸。

雙曲線的標準方程

焦點在$x$軸：${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

焦點在$y$軸：${\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1$

雙曲線的漸近線方程

焦線平行於$x$軸：$y=\pm {\frac {b}{a}}x$

焦線平行於$y$軸：$y=\pm {\frac {a}{b}}x$

圓錐曲線方程

$\rho ={\frac {ep}{1+e\cos \theta }}$

當$e>1$時，表示雙曲線。其中$p$為焦點到準線距離，$\theta$為弦與$x$軸夾角。

外部連結

• Unit hyperbola. PlanetMath. 
• Conic section. PlanetMath. 
• Conjugate hyperbola. PlanetMath. 
• Mathworld - Hyperbola（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

參見

• 圓錐曲線
• 雙曲函數