可觀測性格拉姆矩陣

控制理論中，可觀測性格拉姆矩陣（Observability Gramian）是用來判斷線性動態系統是否可觀測的格拉姆矩陣。

若針對以下的線性時變系統

${\dot {x}}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)$

$y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)\,$

可觀測性格拉姆矩陣為

$W_{o}(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\Phi ^{T}(\tau ,t_{0})C^{T}(\tau )C(\tau )\Phi (\tau ,t_{0})d\tau$ ,

其中$\Phi$為狀態轉換矩陣

系統在$t\in [t_{0},t_{1}]$具有可觀測性，若且唯若$W_{o}(t_{0},t_{1})$為非奇異矩陣，

連續時間，線性非時變系統

若在連續時間的線性非時變系統中，也可以定義可觀測性格拉姆矩陣（不過也有其他判斷可觀測性的方法）。

若考慮以下的系統

${\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

$y(t)=Cx(t)+Du(t)\,$

其可觀測性格拉姆矩陣是以下$n\times n$的方陣

${\boldsymbol {W_{o}}}(t)=\int _{0}^{t}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }{\boldsymbol {C^{T}C}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }d\tau$

${\boldsymbol {A}}$若穩定（所有的特徵值實部均為負），可觀測性格拉姆矩陣也是以下李亞普諾夫方程的唯一解

${\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {W}}_{o}+{\boldsymbol {W}}_{o}{\boldsymbol {A}}=-{\boldsymbol {C^{T}C}}$

${\boldsymbol {A}}$若穩定（所有的特徵值實部均為負），而且${\boldsymbol {W}}_{o}$也是正定矩陣，則此系統有可觀測性。

離散時間，線性非時變系統

若考慮以下的離散時間系統

${\begin{array}{c}{\boldsymbol {x}}[k+1]{\boldsymbol {=Ax}}[k]+{\boldsymbol {Bu}}[k]\\{\boldsymbol {y}}[k]={\boldsymbol {Cx}}[k]+{\boldsymbol {Du}}[k]\end{array}}$

其離散可觀測性格拉姆矩陣是以下$n\times n$的方陣

${\boldsymbol {W}}_{do}=\sum _{m=0}^{\infty }({\boldsymbol {A}}^{T})^{m}{\boldsymbol {C}}^{T}{\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {A}}^{m}$

${\boldsymbol {A}}$若穩定（所有的特徵值絕對值均小於1），也是以下離散李亞普諾夫方程的解

$W_{do}-{\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {W}}_{do}{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {C^{T}C}}$

${\boldsymbol {A}}$若穩定（所有的特徵值絕對值均小於1），而且${\boldsymbol {W}}_{do}$也是正定矩陣，則此系統有可觀測性。

參考資料

• Chen, Chi-Tsong. Linear System Theory and Design Third Edition. New York, New York: Oxford University Press. 1999. ISBN 0-19-511777-8. 

相關條目

• 可觀測性
• 可控制性格拉姆矩陣
• 格拉姆矩陣
• 漢克爾奇異值

外部連結

• Mathematica function to compute the observability Gramian （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）