向量自回歸模型

向量自我迴歸模型（英語：Vector Autoregression model，簡稱VAR模型）是一種常用的計量經濟模型，由計量經濟學家和宏觀經濟學家克里斯托弗·西姆斯（英語：Christopher Sims）提出。它擴充了只能使用一個變量的自我迴歸模型（簡稱：AR模型），使容納大於1個變量，因此經常用在多變量時間序列模型的分析上。

定義

VAR模型描述在同一樣本期間內的n個變量（內生變量）可以作為它們過去值的線性函數。

一個VAR(p)模型可以寫成為：

$y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+\cdots +A_{p}y_{t-p}+e_{t},$

其中：c是n × 1常數向量，A_i是n × n矩陣。e_t是n × 1誤差向量，滿足：

1. $\mathrm {E} (e_{t})=0\,$ —誤差項的均值為0
2. $\mathrm {E} (e_{t}e_{t}')=\Omega \,$ —誤差項的協方差矩陣為Ω（一個n × 'n半正定矩陣）
3. $\mathrm {E} (e_{t}e_{t-k}')=0\,$ （對於所有不為0的k都滿足）—誤差項不存在自我相關

例子

一個有兩個變量的VAR(1)模型可以表示為：

${\begin{bmatrix}y_{1,t}\\y_{2,t}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}A_{1,1}&A_{1,2}\\A_{2,1}&A_{2,2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t-1}\\y_{2,t-1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e_{1,t}\\e_{2,t}\end{bmatrix}},$

或者也可以寫為以下的方程組：

$y_{1,t}=c_{1}+A_{1,1}y_{1,t-1}+A_{1,2}y_{2,t-1}+e_{1,t}\,$

$y_{2,t}=c_{2}+A_{2,1}y_{1,t-1}+A_{2,2}y_{2,t-1}+e_{2,t}.\,$

轉換AR(p)為VAR(1)

AR(p)模型常常可以被改寫為VAR(1)模型。 比如AR(2)模型：

$y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+e_{t}$

可以轉換成一個VAR(1)模型：

${\begin{bmatrix}y_{t}\\y_{t-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}\\I&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{t-1}\\y_{t-2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e_{t}\\0\end{bmatrix}},$

其中I是單位矩陣。

結構與簡化形式

結構向量自我迴歸

一個結構向量自我迴歸（Structural VAR）模型可以寫成為：

$B_{0}y_{t}=c_{0}+B_{1}y_{t-1}+B_{2}y_{t-2}+\cdots +B_{p}y_{t-p}+\epsilon _{t},$

其中：c₀是n × 1常數向量，B_i是n × n矩陣，ε_t是n × 1誤差向量。

一個有兩個變量的結構VAR(1)可以表示為：

${\begin{bmatrix}1&B_{0;1,2}\\B_{0;2,1}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t}\\y_{2,t}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{0;1}\\c_{0;2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}B_{1;1,1}&B_{1;1,2}\\B_{1;2,1}&B_{1;2,2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t-1}\\y_{2,t-1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\epsilon _{1,t}\\\epsilon _{2,t}\end{bmatrix}},$

其中：

$\Sigma =\mathrm {E} (\epsilon _{t}\epsilon _{t}')={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\end{bmatrix}};$

簡化向量自我迴歸

把結構向量自我迴歸與B₀的逆矩陣相乘：

$y_{t}=B_{0}^{-1}c_{0}+B_{0}^{-1}B_{1}y_{t-1}+B_{0}^{-1}B_{2}y_{t-2}+\cdots +B_{0}^{-1}B_{p}y_{t-p}+B_{0}^{-1}\epsilon _{t},$

讓：

$B_{0}^{-1}c_{0}=c,$ $B_{0}^{-1}B_{i}=A_{i}$ 對於 $i=1,\cdots ,p\,$ 和 $B_{0}^{-1}\epsilon _{t}=e_{t}$

我們得到p-階簡化向量自我迴歸（Reduced VAR）：

$y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+\cdots +A_{p}y_{t-p}+e_{t}$

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