埃爾米特插值

不少實際的插值問題不但要求在節點上的函數值相等，而且還要求對應的導數值也相等,甚至要求高階導數也相等,滿足這種要求的插值多項式就是埃爾米特插值多項式。

sin(x)+cos(x)的埃爾米特插值

概述

埃爾米特插值是另一類插值問題，這類插值在給定的節點處，不但要求插值多項式的函數值與原函數值相同。同時還要求在節點處，插值多項式的一階直至指定階的導數值，也與被插函數的相應階導數值相等，這樣的插值稱為埃爾米特(Hermite)插值。 Hermite插值在不同的節點，提出的插值條件個數可以不同，若在某節點$x_{i}$，要求插值函數多項式的函數值，一階導數值，直至$m_{i}-1$階導數值均與被插函數的函數值相同及相應的導數值相等。我們稱$x_{i}$為$m_{i}$重插值點節,因此，Hermite插值應給出兩組數，一組為插值點$\{x_{i}\}_{i=0}^{n}$節點，另一組為相應的重數標號$\{m_{i}\}_{i=0}^{n}$。
若$\sum _{i=0}^{n}m_{i}=N+1$，這就說明了給出的插值條件有$N+1$個，為了保證插值多項式的存在唯一性，這時的Hermite插值多項式應在$P_{N+1}$上求得，於是可作如下定義。

定義

$f$為 $[a,b]$ 上充分光滑函數，對給定的插值定節$\{x_{i}\}_{i=0}^{n}$，及相應的重數標號$\{m_{i}\}_{i=0}^{n}$，$\sum _{i=0}^{n}m_{i}=N+1$時，若有$H(x)\in P_{n}$滿足

$H^{l}(x_{i})=f(x_{i}){\mbox{ , }}l=0,1,\ldots ,m_{i-1};i=0,1,\ldots ,n.$

則稱$H(x)$ 為$f(x)$關於節點$\{x_{i}\}_{i=0}^{n}$及重數標號$\{m_{i}\}_{i=0}^{n}$的Hermite插值多項式。

二重Hermite插值多項式

常用的Hermite插值為m_i=2 的情況，即給定的插值節點{x_i}ⁿ_i=0 均為二重節點，更具體些，$f(x)\in C^{2}([a,b])$，及插值節點{x_i}ⁿ_i=0，若有$H_{2n+1}(x)\in P_{2n+1}$ 滿足

$H_{2n+1}(x_{i})=f(x_{i})$

$H_{2n+1}^{'}(x_{i})=f^{'}(x_{i}){\mbox{ , }}i=0,1,\ldots ,n$，就稱H_{2n + 1}(x)為f(x) 關於節點{x_i}ⁿ_i=0 的二重Hermite插值多項式。

唯一性定理

f(x)關於節點{x_i}ⁿ_i=0的二重Hermite插值多項式存在且唯一。

誤差定理

若$f\in C^{2n+2}([a,b])$，則為f(x)關於$[a,b]$上節點{x_i}ⁿ_i=0的二重Hermite插值多項式誤差為

$R_{2n+1}(x)=f(x)-H_{2n+1}(x)={\frac {f^{(2n+2)}(\xi )}{(2n+2)!}}\ w_{n}^{2}(x)$

這裡

min{x0,x1,...,xn,x}≤ξ=ξ(x)≤max{x0,x1,...,xn,x}

參考文獻

• 韓丹夫，吳慶標.數值計算方法.浙江：浙江大學出版社，2006.6.
• Michelle Schatzman (2002). Numerical Analysis: A Mathematical Introduction, Chapter 4. Clarendon Press, Oxford. ISBN 0-19-850279-6.
• Endre Süli and David Mayers (2003). An Introduction to Numerical Analysis, Chapter 6. Cambridge University Press. ISBN 0-521-00794-1.