局部可積函數

在數學中，局部可積函數是指在定義域內的所有緊集上都可積的函數。

常見定義

設$\Omega$為歐幾里得空間$\mathbb {R} ^{n}$中的一個開集。設$\scriptstyle f:\Omega \to \mathbb {C}$是一個勒貝格可測函數。如果函數$f$在任意緊集$K\subset \Omega$上的勒貝格積分都存在：

$\int _{K}|f|\mathrm {d} x<+\infty \,$

那麼就稱函數$f$為一個$\Omega$-局部可積的函數。所有在$\Omega$上局部可積的函數的集合一般記為$\scriptstyle L_{loc}^{1}(\Omega )$：

$L_{loc}^{1}(\Omega )=\left\{f:\Omega \to \mathbb {C} ,\right.$可測$\left.\left|\ f\in L^{1}(K),\ \forall K\in {{\mathcal {P}}_{0}(\Omega )}\right.\right\}$

其中$\scriptstyle {{\mathcal {P}}_{0}(\Omega )}$指$\Omega$包含的所有的緊集的集合。

一般測度空間

對於更一般的測度空間$(X,d\mu )$，也可以類似地定義其上的局部可積函數。

性質

• 所有$\Omega$上的連續函數與可積函數都是$\Omega$-局部可積的函數。如果$\Omega$是有界的，那麼$\Omega$上的L²函數也是$\Omega$-局部可積的函數。
• 局部可積函數都是幾乎處處有界的函數$(X,d\mu )$，也可以類似地定義其上的局部可積函數。
• 複數值的函數$f$是局部可積函數，當且僅當其實部函數 $Re(f):x\to Re\left(f(x)\right)$與虛部函數 $Im(f):x\to Im\left(f(x)\right)$都是局部可積函數。實數值的函數$f$是局部可積函數，當且僅當其正部函數 $f_{+}:x\to \left(f(x)\right)_{+}$與負部函數 $f_{-}:x\to \left(f(x)\right)_{-}$都是局部可積函數。

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