開爾文函數

開爾文函數有兩類^[1]，得名自開爾文勳爵。第一類 $ber_{v}(x)$ , $bei_{v}(x)$

第二類 $ker_{v}(x)$ , $kei_{v}(x)$

第一類開爾文函數

Kelvin Ber(v,z) function

Kelvin Bei(v,z) function

$ber_{v}(x)=Re(J_{\nu }\left(xe^{\frac {3\pi i}{4}}\right))$

其中 $Re(f)$ 代表 $f$ 的實數部分， $J_{\nu }$ 是第一類貝塞爾函數。

$ber_{v}(x)=Im(J_{\nu }\left(xe^{\frac {3\pi i}{4}}\right))$

其中 $Im(f)$ 代表 $f$ 的虛數部分。

\mathrm {ber} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}

\mathrm {bei} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}

其中n為整數，上式分母的 $\Gamma$ 是Γ函數。

Kelvin Ker(v,z) function

Kelvin Kei(v,z) function

$Ker_{v}(x)=Re(K_{\nu }\left(xe^{\frac {\pi i}{4}}\right))$

$Kei_{v}(x)=Im(K_{\nu }\left(xe^{\frac {\pi i}{4}}\right))$ 其中 $K_{\nu }$ 是第二類修正貝塞爾函數。

{\begin{aligned}\mathrm {ker} _{n}(x)&=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {ber} _{n}(x)+{\frac {\pi }{4}}\mathrm {bei} _{n}(x)\\&\qquad +{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\mathrm {kei} _{n}(x)&=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {bei} _{n}(x)-{\frac {\pi }{4}}\mathrm {ber} _{n}(x)\\&\qquad -{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\end{aligned}}

上式的 $\psi$ 是雙伽瑪函數。

Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel W.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (編), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 [2015-01-24], ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248, （原始內容存檔於2013-07-03）