恆等函數

恆等函數（英語：Identity function）是數學中對於傳回和其輸入值相同的函數的稱呼。換句話說，恆等函數為函數 $f(x)~=~x$ 。

定義

設M為一集合，於M上的恆等函數f被定義於一具有定義域和陪域M的函數，其對任一M內的元素x，會有 $f(x)=x$ 的關係。

於M上的恆等函數f通常標記為 $\operatorname {Id} _{m}$ 或 ${1}_{m}$ 。

設f : M → N為任一函數，則會有f o id_M = f = id_N o f（其中"o"為函數複合）。特別地是，id_M會是所有由M至M的函數所組成之幺半群的單位元。

因為幺半群的單位元是唯一的，也可以反過來把M上的恆等函數定義為這個幺半群的單位元。此一定義廣義化成了於範疇論中恆等態射的概念，其中M的自同態並不必然是函數。