排序算法

在計算機科學與數學中，一個排序算法（英語：Sorting algorithm）是一種能將一串資料依照特定排序方式排列的算法。最常用到的排序方式是數值順序以及字典順序。有效的排序算法在一些算法（例如搜尋算法與合併算法（英語：Merge algorithm））中是重要的，如此這些算法才能得到正確解答。排序算法也用在處理文字資料以及產生人類可讀的輸出結果。基本上，排序算法的輸出必須遵守下列兩個原則：

輸出結果為遞增序列（遞增是針對所需的排序順序而言）
輸出結果是原輸入的一種排列、或是重組

雖然排序算法是一個簡單的問題，但是從計算機科學發展以來，在此問題上已經有大量的研究。舉例而言，泡沫排序在1956年就已經被研究。雖然大部分人認為這是一個已經被解決的問題，有用的新算法仍在不斷的被發明。（例子：圖書館排序在2004年被發表）

分類

在計算機科學所使用的排序算法通常依以下標準分類：

計算的時間複雜度（最差、平均、和最好表現），依據串列（list）的大小( $n$ )。一般而言，好的表現是 $O(n\log n)$ （大O符號），壞的表現是 $O(n^{2})$ 。對於一個排序理想的表現是 $O(n)$ ，但平均而言不可能達到。基於比較的排序算法對大多數輸入而言至少需要 $O(n\log n)$ 。
記憶體使用量（以及其他電腦資源的使用）
穩定性：穩定排序算法會讓原本有相等鍵值的紀錄維持相對次序。也就是如果一個排序算法是穩定的，當有兩個相等鍵值的紀錄 $R$ 和 $S$ ，且在原本的串列中 $R$ 出現在 $S$ 之前，在排序過的串列中 $R$ 也將會是在 $S$ 之前。
排序的方法：插入、交換、選擇、合併等等。

穩定性

穩定排序紙牌的例子。當紙牌用穩定排序按點值排序的時候，兩個5之間必定保持它們最初的次序。在用不穩定排序來排序的時候，兩個5可能被按相反次序來排序。

當相等的元素是無法分辨的，比如像是整數，穩定性並不是一個問題。然而，假設以下的數對將要以他們的第一個數字來排序。

 $(4,1)(3,1)(3,7)(5,6)$

在這個狀況下，有可能產生兩種不同的結果，一個是讓相等鍵值的紀錄維持相對的次序，而另外一個則沒有：

 $(3,1)(3,7)(4,1)(5,6)$  （維持次序）
 $(3,7)(3,1)(4,1)(5,6)$  （次序被改變）

不穩定排序算法可能會在相等的鍵值中改變紀錄的相對次序，但是穩定排序算法從來不會如此。不穩定排序算法可以被特別地實作為穩定。作這件事情的一個方式是人工擴充鍵值的比較，如此在其他方面相同鍵值的兩個物件間之比較，（比如上面的比較中加入第二個標準：第二個鍵值的大小）就會被決定使用在原先資料次序中的條目，當作一個同分決賽。然而，要記住這種次序通常牽涉到額外的空間負擔。

排序算法列表

在這個表格中， $n$ 是要被排序的紀錄數量以及 $k$ 是不同鍵值的數量。

穩定的排序

冒泡排序（bubble sort）— $O(n^{2})$
插入排序（insertion sort）— $O(n^{2})$
雞尾酒排序（cocktail sort）— $O(n^{2})$
桶排序（bucket sort）— $O(n)$ ；需要 $O(k)$ 額外空間
計數排序（counting sort）— $O(n+k)$ ；需要 $O(n+k)$ 額外空間
歸併排序（merge sort）— $O(n\log n)$ ；需要 $O(n)$ 額外空間
原地歸併排序— $O(n\log ^{2}n)$ 如果使用最佳的現在版本
二叉排序樹排序（binary tree sort）— $O(n\log n)$ 期望時間； $O(n^{2})$ 最壞時間；需要 $O(n)$ 額外空間
鴿巢排序（pigeonhole sort）— $O(n+k)$ ；需要 $O(k)$ 額外空間
基數排序（radix sort）— $O(nk)$ ；需要 $O(n)$ 額外空間
侏儒排序（gnome sort）— $O(n^{2})$
圖書館排序（library sort）— $O(n\log n)$ 期望時間； $O(n^{2})$ 最壞時間；需要 $(1+\varepsilon )n$ 額外空間
塊排序（英語：Block sort）（block sort）— $O(n\log n)$
Tim排序（Timsort）— $O(n\log n)$ 平均、最壞時間； $O(n)$ 最優時間；需要 $O(n)$ 額外空間；是目前已知最快的排序算法，在Python、Swift、Rust等語言的內置排序功能中被用作默認算法

不穩定的排序

選擇排序（selection sort）— $O(n^{2})$
希爾排序（shell sort）— $O(n\log ^{2}n)$ 如果使用最佳的現在版本
克洛弗排序（Clover sort）— $O(n)$ 期望時間， $O(n^{2})$ 最壞情況^{[來源請求]}
梳排序— $O(n\log n)$
堆排序（heap sort）— $O(n\log n)$
平滑排序（英語：Smoothsort）（smooth sort）— $O(n\log n)$
快速排序（quick sort）— $O(n\log n)$ 期望時間， $O(n^{2})$ 最壞情況
內省排序（introsort）— $O(n\log n)$
耐心排序（patience sort）— $O(n\log n+k)$ 最壞情況時間，需要額外的 $O(n+k)$ 空間，也需要找到最長的遞增子序列（longest increasing subsequence）

不實用的排序

Bogo排序— $O(n\times n!)$ ，最壞的情況下期望時間為無窮。
Stupid排序— $O(n^{3})$ ;遞迴版本需要 $O(n^{2})$ 額外記憶體
珠排序（bead sort）— $O(n)$ 或 $O({\sqrt {n}})$ ,但需要特別的硬體
煎餅排序— $O(n)$ ,但需要特別的硬體
臭皮匠排序（stooge sort）算法簡單，但需要約 $n^{2.7}$ 的時間

簡要比較

名稱	數據對象	穩定性	時間複雜度		額外空間複雜度	描述
名稱	數據對象	穩定性	平均	最壞	額外空間複雜度	描述
冒泡排序	數組		$O(n^{2})$		$O(1)$	（無序區，有序區）。從無序區透過交換找出最大元素放到有序區前端。
選擇排序	數組		$O(n^{2})$		$O(1)$	（有序區，無序區）。在無序區里找一個最小的元素跟在有序區的後面。對數組：比較得多，換得少。
選擇排序	鍊表		$O(n^{2})$		$O(1)$	（有序區，無序區）。在無序區里找一個最小的元素跟在有序區的後面。對數組：比較得多，換得少。
插入排序	數組、鍊表		$O(n^{2})$		$O(1)$	（有序區，無序區）。把無序區的第一個元素插入到有序區的合適的位置。對數組：比較得少，換得多。
堆排序	數組		$O(n\log n)$		$O(1)$	（最大堆，有序區）。從堆頂把根卸出來放在有序區之前，再恢復堆。
歸併排序	數組		$O(n\log ^{2}n)$		$O(1)$	把數據分為兩段，從兩段中逐個選最小的元素移入新數據段的末尾。可從上到下或從下到上進行。
	數組		$O(n\log n)$		$O(n)+O(\log n)$ 如果不是從下到上
	鍊表		$O(n\log n)$		$O(1)$
快速排序	數組		$O(n\log n)$	$O(n^{2})$	$O(\log n)$	（小數，基準元素，大數）。在區間中隨機挑選一個元素作基準，將小於基準的元素放在基準之前，大於基準的元素放在基準之後，再分別對小數區與大數區進行排序。
快速排序	鍊表		$O(n\log n)$	$O(n^{2})$	$O(\log n)$
希爾排序	數組		$O(n\log ^{2}n)$	$O(n^{2})$	$O(1)$	每一輪按照事先決定的間隔進行插入排序，間隔會依次縮小，最後一次一定要是1。

計數排序	數組、鍊表		$O(n+m)$		$O(n+m)$	統計小於等於該元素值的元素的個數i，於是該元素就放在目標數組的索引i位（i≥0）。
桶排序	數組、鍊表		$O(n)$	$O(n^{2})$	$O(m)$	將值為i的元素放入i號桶，最後依次把桶里的元素倒出來。
基數排序	數組、鍊表		$O(k\times n)$	$O(n^{2})$		一種多關鍵字的排序算法，可用桶排序實現。