無平方因子數

無平方因子數[1](英語:square-free integer)是指其因數中,沒有一個是平方數正整數。簡言之,將一個這樣的數予以質因數分解後,所有質因數都不會大於或等於2。例如:54=,由於54有因數是平方數(),所以54不是無平方因子數;而55=,55沒有因數是平方數,所以55是無平方因子數。

以數學概念說明:若一個數是無平方因子數,則對於任意平方數;或者說當皆為質數時,對於任意而言,

另一方面,默比烏斯函數當且僅當為無平方因子數時

前20個無平方因數的數是:1235671011131415171921222326293031OEIS數列A005117

由於無平方因子數的所有質因數指數均為一次方,故除1以外,有關數的正因數數目必定是2的非負整數次方

將無平方因子數分解為兩數之積,這兩數一定互質[查證請求][來源請求][原創研究?]

依定義,顯然所有的質數楔形數質數階乘與有4個正因數的半質數都是無平方因子數。

不含平方因子的數的分布

如果用Q(x)來表示1和x之間的不含平方因子的數,則:

 

因此,不含平方因子的數的自然密度為:

 

其中ζ是黎曼ζ函數

類似地,如果用Q(x,n)來表示1和x之間的不含n次方因子的數,則我們可以證明:

 

參考文獻

  1. ^ 張鴻林; 葛顯良. 英汉数学词汇. 清華大學出版社. 2005: 703. ISBN 9787302098935. square-free number 無平方因子數