無窮小變換

數學裡，無窮小變換是小變換的一個無窮小極限。例如我們可以談論三維空間中一個剛體的無窮小旋轉。這通常由一個 3×3 反對稱矩陣 A 表示。它不是空間中的實際旋轉；但是對一個小參數 ε，我們有

$I+\varepsilon A$

與小旋轉之差只是 ε² 階量。

無窮小變換的綜合理論最早由索甫斯·李給出。事實上這是他在如今稱為李群及其李代數方面工作的核心；以及它們在幾何特別是微分方程中作用的等同。一個抽象李群的性質正是無窮小變換的那些限定，正如群論的公理實現了對稱。

例如，在無窮小旋轉情形，將一個反對稱矩陣與一個三維向量等同，則李代數結構由叉積給出。這相當於選取旋轉的一個軸；雅可比恆等式是叉積一個熟知的性質。

無窮小變換最早的例子可能認為出現於齊次函數的歐拉定理中。它斷言 n 個變量 x₁, ..., x_n 的一個度數為 r 的齊次函數 F，滿足

$H\cdot F=rF$

其中

$H=\sum _{i}x_{i}{\partial \over \partial x_{i}}$

是一個微分算子。這是由性質

$F(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{r}F(x_{1},\dots ,x_{n})$

我們可對 λ 微分，然後取 λ 等於 1。這是光滑函數 F 有齊次性質的一個必要條件；這也是充足的（通過利用施瓦茲分布我們簡化這裡考慮的數學分析）。在我們有一個縮放算子的單參數子群時這個過程是典型的；變換的信息事實上包含於一階微分算子無窮小變換中。

算子方程

$e^{tD}f(x)=f(x+t)$

這裡

$D={d \over dx}$

是泰勒定理的一個算子版本，從而只對 f 是一個解析函數成立。集中於算子部分，它實際上說明 D 是一個無窮小變換，通過指數生成在實直線上的平移。在李理論中，這推廣得很遠。任何連通空間李群可由它的無窮小生成元（這個群李代數的一個基）構造出來；貝克-坎貝爾-豪斯多夫公式中給出了清晰不過未必總有用的信息。