時標微積分

在數學中，時標微積分是差分方程和微分方程的一種統一。時標微積分最初由德國數學家Stefan Hilger發明，應用於需要同時包含離散和連續的情況的模型的領域中。它為導數賦予了新的定義，使得如果你對定義在實數中的閉區間上的函數進行求導，就等價於通常意義上的導數；然而如果你將這種新定義的導數作用於定義在整數集上的函數，則它就等價於前移差分算子。

動力方程

關於微分方程的很多結果能夠輕而易舉地延伸到差分方程中相對應的結果，然而其他的一些結果卻在二者中看起來非常不同。^[1]。時標動力方程的研究揭示了這種差異，並且有助於避免將類似的結果證明兩次——在微分方程中證明一次，在差分方程中又證明一次。一般的想法是證明一個動力方程的結果，其中未知函數的定義域叫做時標（又叫做時集），它可以是實數集中的任意閉子集。用這種方式定義以後，結果就不僅能應用於實數集或者整數集，還能應用在更一般的時標，例如康托爾集。時標的最廣泛的三種應用是微分學、有限差分和量子微積分。時標動力方程在諸如群族動力學等領域有潛在應用。例如，我們可以建立一種昆蟲的種群模型，在生長季節種群數量是連續變化的，在冬季這種昆蟲死亡，但是它們的卵處在孕育或者休眠的狀態，然後在春季孵化出來，進而導致了一個不重疊的種群數量。

精確定義

時標或稱度量鏈 $\mathbb {T}$ 是實數軸 $\mathbb {R}$ 上的閉子集。定義：

\sigma (t)=\inf\{s\in \mathbb {T} :s>t\}

（前移算子／前躍算子）

\rho (t)=\sup\{s\in \mathbb {T} :s<t\}

（後移算子／後躍算子）

令 $t$ 為 $\mathbb {T}$ 中的一個元素。那麼 $t$ 為：

左稠，當

\rho (t)=t

，

右稠，當

\sigma (t)=t

，

左散，當

\rho (t)<t

，

右散，當

\sigma (t)>t

，

稠密，當

t

是左稠且右稠的，

孤立，當

t

是左散且右散的。定義時標

\mathbb {T}

的粒度函數

\mu

為：

\mu (t)=\sigma (t)-t

。取函數：

f:T\rightarrow \mathbb {R}

，

(其中 $\mathbb {R}$ 可以是任何巴拿赫空間，但為簡單起見令其為實數軸）。定義：廣義導數 $f^{\Delta }(t)$ 對於任意的 $\epsilon >0$ ，存在 $t$ 的一個鄰域 $U$ 使得：

|f(\sigma (t))-f(s)-f^{\Delta }(t)(\sigma (t)-s)|\leq \varepsilon |\sigma (t)-s|

對於任意的 $s\in T$ 。令 $\mathbb {T} =\mathbb {R}$ 。那麼 $\sigma (t)=t$ ， $\mu (t)=0$ ； $f^{\Delta }=f'$ 是用於標準微積分中的導數。令 $\mathbb {T} =\mathbb {Z}$ (整數集），那麼 $\sigma (t)=t+1$ ， $\mu (t)=1$ ， $f^{\Delta }=\Delta f$ 是用在差分方程中的前移差分算子。